स्कैटर प्लॉट, हिस्टोग्राम और वितरण वक्र

बिंदु का $x$ और $y$ पढ़ना, सबसे ऊँचा/बाएँ बिंदु, अंतर, औसत।

स्कैटर प्लॉट (प्रकीर्ण आलेख) में हर बिंदु एक वस्तु (एक विद्यार्थी, एक दुकान, एक दिन) के दो मान दिखाता है। क्षैतिज अक्ष ($x$-अक्ष) पर एक मान और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष) पर दूसरा मान होता है। बिंदु की जगह जोड़ी $(x,y)$ से तय होती है, जिसे निर्देशांक कहते हैं; पहले हमेशा $x$ (क्षैतिज), फिर $y$ (ऊर्ध्वाधर)। नीचे आकृति में हर दुकान एक बिंदु है और अक्षर उसका नाम है।

1. दोनों अक्षों के शीर्षक और इकाई पढ़िए (₹ हज़ार? लाख? घंटे?) और देखिए कि पैमाना शून्य से शुरू होता है या नहीं।
2. जिस बिंदु का सवाल है, उससे नीचे $x$-अक्ष तक जाइए और $x$ पढ़िए; फिर उससे बाईं ओर $y$-अक्ष तक जाकर $y$ पढ़िए।
3. दो बिंदुओं की तुलना हो तो दोनों के मान अलग-अलग लिखिए, फिर घटाइए, भाग दीजिए या जोड़िए।

दो चरों में संबंध पहचानना।

सहसंबंध यह बताता है कि एक राशि ($x$) बदलने पर दूसरी ($y$) कैसे बदलती है। धनात्मक सहसंबंध: $x$ बढ़ने पर $y$ भी बढ़ता है (बिंदु बाएँ से दाएँ चढ़ते हैं; जैसे पढ़ाई के घंटे और अंक)। ऋणात्मक सहसंबंध: $x$ बढ़ने पर $y$ घटता है (बिंदु उतरते हैं; जैसे तापमान और गर्म चाय की बिक्री)। कोई सहसंबंध नहीं: बिंदु बेतरतीब बिखरे हैं (जैसे रोल नंबर और अंक)।

प्रबलता: बिंदु किसी सीधी रेखा के जितने पास कसे हों, सहसंबंध उतना प्रबल; जितने बिखरे हों, उतना दुर्बल। संख्या में इसे सहसंबंध गुणांक $r$ बताता है।

यहाँ: $r$ = सहसंबंध गुणांक; इसका चिह्न दिशा और परिमाण (0 से दूरी) प्रबलता बताता है।

1. बाएँ से दाएँ देखिए: बिंदु चढ़ते हैं, उतरते हैं या बेतरतीब हैं?
2. फिर कसाव देखिए: रेखा के पास कसे हुए = प्रबल, बिखरे = दुर्बल।
3. प्रश्न में $r$ दिया हो तो चिह्न से दिशा और $0$ से दूरी से प्रबलता पढ़िए।

प्रवृत्ति रेखा से अनुमान लगाना।

जब बिंदु लगभग एक सीधी रेखा के आसपास हों, तो उन्हें दर्शाने वाली एक सीधी रेखा खींची जाती है। इसे सर्वश्रेष्ठ-फिट रेखा (प्रवृत्ति रेखा) कहते हैं। यह इस तरह खींची जाती है कि रेखा के ऊपर और नीचे लगभग बराबर बिंदु हों और बिंदु उसके पास रहें। रेखा बन जाने पर हम किसी भी $x$ के लिए $y$ का अनुमान पढ़ सकते हैं: $x$ से ऊपर रेखा तक, फिर बाईं ओर $y$-अक्ष तक।

1. रेखा पर दो साफ़ बिंदु लीजिए (जहाँ वह जाल की रेखाओं को काटे) और उनके $(x,y)$ पढ़िए।
2. ढलान $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ निकालिए; फिर $c=y_1-m{x}_1$।
3. अनुमान के लिए $y=c+mx$ में $x$ रखिए (या आकृति से सीधे पढ़िए)।

गुच्छे (क्लस्टर) और बाह्यांक पहचानना; औसत पर असर।

गुच्छा (क्लस्टर) बिंदुओं का वह समूह है जो पास-पास हों और दूसरे समूहों से ख़ाली जगह से अलग दिखे। बाह्यांक (outlier) वह बिंदु है जो किसी भी समूह में न आए और बाक़ियों से बहुत दूर हो। बाह्यांक का कारण गलत आँकड़ा भी हो सकता है और कोई असाधारण घटना भी; इसलिए उसे बिना सोचे हटाना ठीक नहीं।

• औसत पर असर: एक बाह्यांक औसत को अपनी ओर खींच लेता है। इसलिए बाह्यांक सहित औसत और उसके बिना औसत में अंतर होता है।
• सहसंबंध पर असर: एक बाह्यांक $r$ को बहुत बदल सकता है, क्योंकि वह रेखा से बहुत दूर होता है।
• गुच्छे का अर्थ: अलग-अलग गुच्छे अक्सर अलग-अलग तरह की वस्तुएँ दिखाते हैं (यहाँ छोटी और लंबी दूरी की डिलीवरी)।

1. पहले बिंदुओं को देखकर ख़ाली जगहों से अलग हुए समूह गिनिए।
2. जो बिंदु किसी समूह में न हो, वह बाह्यांक है; उसके निर्देशांक पढ़िए।
3. औसत के प्रश्न में बाह्यांक सहित और रहित, दोनों योग और गिनती अलग लिखिए।

दिए गए रेखा या चार भागों के अनुसार बिंदु गिनना और प्रतिशत निकालना।

प्रश्न अक्सर एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x=a$ और एक क्षैतिज रेखा $y=b$ देते हैं। ये आकृति को चार भागों में बाँटती हैं: ऊपर-दाएँ ($x>a$, $y>b$), ऊपर-बाएँ ($x<a$, $y>b$), नीचे-दाएँ ($x>a$, $y<b$), नीचे-बाएँ ($x<a$, $y<b$)। कभी एक तिरछी रेखा (जैसे फिट रेखा) दी जाती है और पूछा जाता है कि कितने बिंदु उसके ऊपर या नीचे हैं। ऊपर = उसी $x$ पर रेखा से बड़ा $y$।

1. जिन शर्तों की बात है (जैसे $x>a$ और $y>b$) उन्हें लिख लीजिए।
2. हर बिंदु को एक-एक करके देखिए और गिनने के लिए पर्ची की तरह निशान लगाइए।
3. प्रतिशत के प्रश्न में गिनती को कुल बिंदुओं से भाग देकर 100 से गुणा कीजिए।

स्कैटर प्लॉट से अनुपात, प्रतिशत, औसत और प्रति इकाई दर निकालना।

अधिकतर प्रश्न स्कैटर प्लॉट को तालिका की तरह पढ़ने को कहते हैं। सबसे सुरक्षित तरीका: पहले आकृति से एक छोटी तालिका बना लीजिए (बिंदु, $x$, $y$), फिर सारे प्रश्न तालिका से हल कीजिए। तब अनुपात, प्रतिशत, औसत और $y÷x$ (प्रति इकाई दर) साधारण तालिका-प्रश्न बन जाते हैं।

यहाँ: $x$ = अनुभव (वर्ष), $y$ = मासिक वेतन (₹ हज़ार), $y÷x$ = प्रति वर्ष अनुभव पर वेतन।

1. आकृति से हर बिंदु के $x,y$ लिखकर तालिका बनाइए।
2. जो पूछा जाए, उसके लिए तालिका में एक नया स्तंभ जोड़िए ($y÷x$, अंतर आदि)।
3. प्रतिशत में आधार पहचानिए: "A, B से कितना % अधिक" में आधार B।

जिन ग़लतियों से अंक कटते हैं।

• अक्ष शून्य से न शुरू हो: तब ऊँचाइयों के अनुपात से मानों का अनुपात न निकालिए। नीचे के दोनों आलेख एक ही आँकड़े के हैं; बाएँ वाला 0 से और दाएँ वाला 40 से शुरू है, इसलिए दाएँ में अंतर बड़े दिखते हैं।
• अलग पैमाने: दो आकृतियों को साथ रखकर तुलना करते समय हर अक्ष का पैमाना अलग-अलग पढ़िए; एक जैसी दिखती ढलान का अर्थ एक जैसा नहीं होता।
• ढके हुए बिंदु: समान $(x,y)$ वाली वस्तुओं के बिंदु एक के ऊपर एक पड़ते हैं, इसलिए दिखते बिंदु कुल वस्तुओं से कम हो सकते हैं।
• $x$, $y$ का क्रम और इकाई: निर्देशांक में पहले $x$; उत्तर में अक्ष की इकाई (हज़ार, लाख) लगाइए।

वर्ग-अंतराल, बारंबारता, कुल, प्रतिशत, बहुलक वर्ग।

जब वर्ग बराबर चौड़े न हों तब हिस्टोग्राम कैसे पढ़ें।

समूहित आँकड़ों के तीनों माध्य-माप।

दोनों में अंतर और संचयी बारंबारता की पट्टियाँ।

बहुभुज बनाना और पढ़ना; दो बहुभुजों की तुलना।

तोरण बनाना और पढ़ना।

$N/2$, $N/4$, $3N/4$ की ऊँचाई से $x$ पढ़ना।

वितरण का आकार देखकर तीनों माध्य-मापों का क्रम बताना।

वक्र के नीचे का क्षेत्रफल प्रतिशत बताता है; तीन सीमाओं के प्रतिशत।

अलग-अलग माप की तुलना और स्थिति बताना।

बॉक्स प्लॉट पढ़ना और दो समूहों की तुलना।

कौन-सा मान बाह्यांक है, यह जाँचना।

तना-पत्ती से माध्यिका, बहुलक, गिनती; दो कक्षाओं की तुलना।

बिंदुओं से कुल, बहुलक, माध्यिका और माध्य।

खाली और भरे बिंदु से सीमा का नियम।

हर आलेख से वही चार गणनाएँ: परिवर्तन, अनुपात, औसत, सबसे अधिक वृद्धि वाला वर्ष।

कथनों की सच्चाई आलेख से परखना।

पाई + बार, और हिस्टोग्राम + तोरण साथ में।

हर आलेख: क्या पढ़ें और मुख्य चाल।

हर आलेख पर पाँच परीक्षा-शैली प्रश्न।

हर आलेख की एक भूल।