चक्रवृद्धि ब्याज: विधियाँ और शॉर्टकट

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

7 भाग11 हल किए उदाहरण24 अभ्यास प्रश्न

साधारण ब्याज (SI) में हर वर्ष ब्याज केवल मूल रक़म (मूलधन, $P$ ) पर लगता है। चक्रवृद्धि ब्याज (CI) में हर वर्ष के अंत में ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और अगले वर्ष उस बढ़ी हुई रक़म पर ब्याज लगता है। इसलिए ब्याज भी ब्याज कमाता है। अंत में मिलने वाली कुल रक़म को मिश्रधन ( $A$ ) कहते हैं: $A = P + C I$ ।

∑ सूत्र

A = P (1 + \frac{R}{100})^{n}, C I = A - P

वार्षिक संयोजन का मूल सूत्र

$P$: मूलधन
$R$: वार्षिक दर (%)
$n$: वर्षों की संख्या
$A$: मिश्रधन

सूत्र सही है, पर परीक्षा में बड़ी घातों का गुणा समय खा जाता है। इसलिए इस अध्याय में हम विधियाँ सीखेंगे: दर को भिन्न में बदलकर अनुपात विधि, हर वर्ष का ब्याज अलग दिखाने वाला ब्याज-ट्री, और उन्हीं से निकले छोटे सूत्र। हर विधि के बाद हल किए उदाहरण हैं और फिर अभ्यास प्रश्न — पहले ख़ुद हल कीजिए, फिर हल खोलिए।

याद रखेंपूरे अध्याय की एक ही कुंजी: हर वर्ष रक़म उसी गुणक $(1 + \frac{R}{100})$ से गुणा होती है। जोड़ना नहीं, गुणा करना।

नींव: जोड़ो नहीं, गुणा करो

क्रमिक % · अनुपात · प्रभावी %

चक्रवृद्धि ब्याज को क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन की तरह देखना, अनुपात विधि और प्रभावी प्रतिशत।

इन तीन विधियों पर पूरा अध्याय टिका है। पहले इन्हें अच्छी तरह समझ लीजिए।

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

x + y + \frac{x y}{100}

एक के बाद एक प्रतिशत बदलाव — यही चक्रवृद्धि ब्याज की जड़ है।

विचार

मान लीजिए किसी चीज़ का दाम पहले 20% बढ़ा, फिर 10% और बढ़ा। कुल बढ़त 30% नहीं है, क्योंकि दूसरी बढ़त नए दाम पर लगती है, पुराने पर नहीं। 100 का दाम पहले 120 हुआ; अब 10% का मतलब 120 का 10% = 12, यानी 132। कुल बढ़त 32%।

यह अतिरिक्त 2% कहाँ से आया? दूसरी बढ़त (10%) ने पहली बढ़त (20) पर भी काम किया: 20 का 10% = 2। चक्रवृद्धि ब्याज ठीक यही है — हर वर्ष की वृद्धि पिछले वर्षों की वृद्धि पर भी लगती है।

∑ सूत्र

Net % = x + y + \frac{x y}{100}

दो क्रमिक परिवर्तन (कमी या छूट हो तो उस संख्या पर ऋण चिह्न)

$x, y$: दोनों प्रतिशत परिवर्तन
$\frac{x y}{100}$: एक परिवर्तन का दूसरे परिवर्तन पर असर

भिन्न वाला तरीक़ा: 10% $= \frac{1}{10}$ , यानी बढ़त में 10 → 11 और कमी में 10 → 9। हर परिवर्तन का अनुपात लिखकर सबको गुणा कर दीजिए; पहले और अंतिम मान का अंतर ÷ पहला मान × 100 = कुल प्रतिशत।

प्रतिशत	भिन्न	बढ़त का अनुपात	कमी का अनुपात
5%	$\frac{1}{20}$	20 : 21	20 : 19
10%	$\frac{1}{10}$	10 : 11	10 : 9
$12 \frac{1}{2} %$	$\frac{1}{8}$	8 : 9	8 : 7
$16 \frac{2}{3} %$	$\frac{1}{6}$	6 : 7	6 : 5
20%	$\frac{1}{5}$	5 : 6	5 : 4
25%	$\frac{1}{4}$	4 : 5	4 : 3
$33 \frac{1}{3} %$	$\frac{1}{3}$	3 : 4	3 : 2
15%	$\frac{3}{20}$	20 : 23	20 : 17

पहचानप्रश्न में “पहले… फिर…”, “क्रमिक छूट”, “लगातार दो वर्ष” जैसे शब्द हों, तो यह विधि लगाइए।

कदम

हर परिवर्तन को चिह्न के साथ लिखिए: बढ़त $+$ , कमी या छूट $-$ ।
पहले दो को $x + y + \frac{x y}{100}$ से मिलाइए।
तीसरा परिवर्तन हो तो उसे इस परिणाम के साथ फिर उसी सूत्र से मिलाइए।
उत्तर धनात्मक हो तो कुल वृद्धि, ऋणात्मक हो तो कुल कमी। 100 से शुरू करके जाँच लीजिए।

उदाहरण 1 · आसान

एक कूलर का दाम पहले 20% बढ़ा और फिर 10% और बढ़ा। कुल कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

हल, कदम-दर-कदम

1प्रतिशत के प्रश्न 100 पर सबसे आसान होते हैं, इसलिए पुराना दाम 100 मान लेते हैं। 20% बढ़ने पर दाम $100 + 20 = 120$ हुआ।
2अब 10% की बढ़त नए दाम 120 पर है, 100 पर नहीं: 120 का 10% = 12, इसलिए दाम $120 + 12 = 132$ ।
3कुल मिलाकर 100 → 132, यानी 32% की वृद्धि।
4सूत्र से भी वही: $20 + 10 + \frac{20 \times 10}{100} = 30 + 2 = 32%$ । अतिरिक्त 2, 20 की बढ़त पर लगी 10% बढ़त है।

उत्तर 32% वृद्धि

30% नहीं! क्रमिक प्रतिशत कभी सीधे नहीं जुड़ते।

उदाहरण 2 · मध्यम

एक दुकान अंकित मूल्य पर 25%, 20% और 10% की तीन क्रमिक छूटें देती है। इनके बराबर एक अकेली छूट कितनी है?

हल, कदम-दर-कदम

1छूट दाम घटाती है, इसलिए तीनों को ऋण चिह्न के साथ लिखते हैं: $- 25, - 20, - 10$ ।
2पहली दो छूटें मिलाइए: $- 25 - 20 + \frac{( - 25 ) ( - 20 )}{100} = - 45 + 5 = - 40$ । यानी 25% और 20% मिलकर 40% छूट के बराबर हैं (45% नहीं)।
3अब $- 40$ को तीसरी छूट $- 10$ से मिलाइए: $- 40 - 10 + \frac{( - 40 ) ( - 10 )}{100} = - 50 + 4 = - 46$ ।
4जाँच 100 से: 100 → 75 → 60 → 54। ग्राहक 100 के बदले 54 देता है, यानी 46% छूट।

उत्तर 46%

तीन परिवर्तन हों तो दो-दो करके मिलाइए; क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता।

उदाहरण 3 · मध्यम

किसी कर्मचारी का वेतन पहले 25% और फिर 20% बढ़ा। भिन्न विधि से कुल वृद्धि बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

125% $= \frac{1}{4}$ , यानी हर 4 रुपये 5 हो जाते हैं: अनुपात $4 : 5$ ।
220% $= \frac{1}{5}$ , यानी हर 5 रुपये 6 हो जाते हैं: अनुपात $5 : 6$ ।
3दोनों बदलाव एक के बाद एक हैं, इसलिए अनुपातों को गुणा कीजिए: पहले $4 \times 5 = 20$ , बाद में $5 \times 6 = 30$ ।
420 पर 10 की वृद्धि ⟹ $\frac{10}{20} \times 100 = 50%$ । सूत्र से: $25 + 20 + \frac{25 \times 20}{100} = 50%$ ✓।

उत्तर 50% वृद्धि

भिन्न विधि वही है जो आगे चक्रवृद्धि की अनुपात विधि बनेगी।

उदाहरण 4 · कठिन

कोई रक़म हर वर्ष 25% बढ़ती है। 3 वर्षों में कुल कितने प्रतिशत बढ़ेगी? इससे ₹6,400 पर 25% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज भी बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1हर वर्ष 25% की बढ़त = तीन क्रमिक बढ़तें $+ 25, + 25, + 25$ ।
2भिन्न विधि: 25% $= \frac{1}{4}$ ⟹ हर वर्ष $4 : 5$ । तीन वर्ष में $4^{3} : 5^{3} = 64 : 125$ ।
364 पर 61 की बढ़त ⟹ $\frac{61}{64} \times 100 = 95.3125%$ । (सूत्र से: $25 + 25 + 6.25 = 56.25$ , फिर $56.25 + 25 + 14.0625 = 95.3125$ ।)
4₹6,400 = 64 इकाई, यानी 1 इकाई = ₹100; ब्याज = 61 इकाई = ₹6,100।

उत्तर 95.3125%; ब्याज ₹6,100

यही सोच चक्रवृद्धि ब्याज का आधार है: हर वर्ष एक क्रमिक बढ़त।

आसानपहले खुद करके देखें

एक टीवी की कीमत में एक के बाद एक

+ 10%

+ 15%

का परिवर्तन होता है। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ?

आसानपहले खुद करके देखें

एक दुकानदार अंकित मूल्य पर क्रमशः

30%

20%

की छूट देता है। इन सबके बराबर एक अकेली छूट कितने प्रतिशत की होगी?

आसानपहले खुद करके देखें

राधा के वेतन में एक के बाद एक

+ 20%

- 10%

का परिवर्तन होता है। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक संग्रहालय में आने वालों की संख्या में एक के बाद एक

- 20%

- 25%

का परिवर्तन होता है। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक दुकान के किराए में एक के बाद एक

+ 30%

- 30%

का परिवर्तन होता है। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक दुकानदार अंकित मूल्य पर क्रमशः

10%

20%

30%

की छूट देता है। इन सबके बराबर एक अकेली छूट कितने प्रतिशत की होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कारखाने के उत्पादन में एक के बाद एक

+ 25%

+ 20%

- 20%

का परिवर्तन होता है। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक गाँव में पेड़ों की संख्या में एक के बाद एक

+ 10%

+ 10%

+ 10%

का परिवर्तन होता है। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत का परिवर्तन हुआ?

अनुपात (इकाई) विधि

दर = भिन्न ⟹

P : A = b^{n} : (b + a)^{n}

दर को भिन्न में लिखकर मूलधन, मिश्रधन और ब्याज को इकाइयों में देखना।

विचार

मान लीजिए दर 10% है, यानी $\frac{1}{10}$ । तो हर 10 रुपये एक वर्ष में 11 रुपये बनते हैं: एक वर्ष के लिए मूलधन : मिश्रधन = 10 : 11। दूसरे वर्ष फिर यही गुणा होता है, इसलिए 2 वर्ष में $1 0^{2} : 1 1^{2} = 100 : 121$ और 3 वर्ष में $1000 : 1331$ । ब्याज = दोनों का अंतर: 2 वर्ष में 21 इकाई, 3 वर्ष में 331 इकाई।

यहाँ “इकाई” एक अनजानी रक़म है। प्रश्न में मूलधन, मिश्रधन या ब्याज में से कोई एक दिया हो तो उससे 1 इकाई का मान निकल आता है, और फिर बाकी सब। यह सूत्र $A = P (1 + \frac{R}{100})^{n}$ ही है — बस भिन्नों में, जिससे हिसाब मन में हो जाता है।

∑ सूत्र

R % = \frac{a}{b} \Rightarrow P : A = b^{n} : (b + a)^{n}, C I = (b + a)^{n} - b^{n} units

n

वर्षों का अनुपात

$\frac{a}{b}$: दर, सबसे छोटे भिन्न में

दर	भिन्न	1 वर्ष P : A	2 वर्ष P : A	3 वर्ष P : A
5%	$\frac{1}{20}$	20 : 21	400 : 441	8000 : 9261
10%	$\frac{1}{10}$	10 : 11	100 : 121	1000 : 1331
$12 \frac{1}{2} %$	$\frac{1}{8}$	8 : 9	64 : 81	512 : 729
$16 \frac{2}{3} %$	$\frac{1}{6}$	6 : 7	36 : 49	216 : 343
20%	$\frac{1}{5}$	5 : 6	25 : 36	125 : 216
25%	$\frac{1}{4}$	4 : 5	16 : 25	64 : 125
$14 \frac{2}{7} %$	$\frac{1}{7}$	7 : 8	49 : 64	343 : 512
15%	$\frac{3}{20}$	20 : 23	400 : 529	8000 : 12167

ध्यान देंयह विधि केवल मूलधन, मिश्रधन और कुल ब्याज के प्रश्नों के लिए है। अगर किसी एक वर्ष का ब्याज, साधारण ब्याज या CI−SI पूछा हो तो अगली शाखा का ब्याज-ट्री लगाइए।

कदम

दर को सबसे छोटे भिन्न $\frac{a}{b}$ में लिखिए।
एक वर्ष का अनुपात $P : A = b : (b + a)$ लिखिए।
वर्षों की संख्या जितनी घात लीजिए; ब्याज = दोनों भागों का अंतर।
दी गई रक़म जिस भाग की है, उससे 1 इकाई निकालिए।
माँगे गए भाग को 1 इकाई से गुणा कीजिए।

उदाहरण 5 · आसान

₹6,250 पर 20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

120% $= \frac{1}{5}$ , यानी हर 5 रुपये एक वर्ष में 6 बनते हैं: $P : A = 5 : 6$ ।
22 वर्ष में यह गुणा दो बार होता है: $5^{2} : 6^{2} = 25 : 36$ । ब्याज $= 36 - 25 = 11$ इकाई।
3मूलधन 25 इकाई = ₹6,250 ⟹ 1 इकाई $= \frac{6250}{25} = 250$ ।
4ब्याज $= 11 \times 250 = ₹2, 750$ । सूत्र से जाँच: $6250 \times 1.2 = 7500$ , $7500 \times 1.2 = 9000$ , ब्याज $= 9000 - 6250 = 2, 750$ ✓।

उत्तर ₹2,750

उदाहरण 6 · मध्यम

12.5%

वार्षिक चक्रवृद्धि दर पर 3 वर्षों में किसी राशि पर ₹3,255 ब्याज मिला। राशि ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $12 \frac{1}{2} % = \frac{1}{8}$ , यानी एक वर्ष में $P : A = 8 : 9$ ।
23 वर्ष के लिए घन लीजिए: $8^{3} : 9^{3} = 512 : 729$ । ब्याज $= 729 - 512 = 217$ इकाई।
3217 इकाई $= 3, 255$ ⟹ 1 इकाई $= \frac{3 , 255}{217} = 15$ ।
4मूलधन $= 512 \times 15 = ₹7, 680$ ।

उत्तर ₹7,680

घन याद रखने से समय बचता है:

8^{3} = 512, 9^{3} = 729

।

उदाहरण 7 · मध्यम

कोई राशि

14 \frac{2}{7} %

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्षों में ₹12,800 हो जाती है। मूलधन और ब्याज बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $14 \frac{2}{7} % = \frac{100}{7} % = \frac{1}{7}$ , यानी एक वर्ष में $P : A = 7 : 8$ ।
22 वर्ष: $49 : 64$ । यहाँ मिश्रधन दिया है, इसलिए 64 इकाई वाले भाग से शुरू करते हैं।
364 इकाई $= 12, 800$ ⟹ 1 इकाई $= 200$ ।
4मूलधन $= 49 \times 200 = ₹9, 800$ ; ब्याज $= 15 \times 200 = ₹3, 000$ ।

उत्तर ₹9,800, ₹3,000

14 \frac{2}{7} %, 11 \frac{1}{9} %, 9 \frac{1}{11} %

जैसी दरें इशारा हैं कि भिन्न (

\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}

) से हल करना है।

उदाहरण 8 · कठिन

15% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्षों में किसी राशि पर ₹3,870 ब्याज बनता है। मूलधन और मिश्रधन बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

115% $= \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ । यहाँ अंश 1 नहीं, 3 है: हर 20 रुपये एक वर्ष में 23 बनते हैं, $P : A = 20 : 23$ ।
22 वर्ष: $2 0^{2} : 2 3^{2} = 400 : 529$ ; ब्याज $= 129$ इकाई।
3129 इकाई $= 3, 870$ ⟹ 1 इकाई $= 30$ ।
4मूलधन $= 400 \times 30 = ₹12, 000$ , मिश्रधन $= 529 \times 30 = ₹15, 870$ ।

उत्तर ₹12,000, ₹15,870

अंश 1 न हो तब भी विधि वही है; बस संख्याएँ थोड़ी बड़ी होती हैं (

2 3^{2} = 529

)।

आसानपहले खुद करके देखें

₹4,000 को एक बैंक में

10%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष के लिए रखा गया। कितना चक्रवृद्धि ब्याज मिलेगा?

आसानपहले खुद करके देखें

₹4,800 को डाकघर की एक योजना में

25%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष के लिए रखा गया। कितना चक्रवृद्धि ब्याज मिलेगा?

आसानपहले खुद करके देखें

कोई राशि

12.5%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹2,025 हो जाती है। मूलधन क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कंपनी के बॉन्ड में कोई राशि

16 \frac{2}{3} %

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष के लिए रखने पर ₹585 ब्याज मिला। राशि कितनी थी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

25%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष में किसी राशि पर ₹1,220 ब्याज बनता है। मिश्रधन कितना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹12,000 को एक म्यूचुअल फंड में

5%

कठिनपहले खुद करके देखें

एक बैंक में कोई राशि

11 \frac{1}{9} %

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष के लिए रखने पर ₹950 ब्याज मिला। राशि कितनी थी?

कठिनपहले खुद करके देखें

कोई राशि

33 \frac{1}{3} %

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष में ₹8,000 हो जाती है। मूलधन क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹5,000 पर

12%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष बाद मिश्रधन कितना होगा?

प्रभावी प्रतिशत (2 और 3 वर्ष)

2 r + \frac{r ^{2}}{100}

3 r + \frac{3 r ^{2}}{100} + \frac{r ^{3}}{1 0 ^{4}}

जब दर का भिन्न सुविधाजनक न हो (6%, 7%, 9%…) तो ब्याज को मूलधन के प्रतिशत के रूप में निकालना।

विचार

7% का भिन्न $\frac{7}{100}$ है — इसकी घातें बड़ी संख्याएँ देती हैं। ऐसे में क्रमिक प्रतिशत का सूत्र सीधे लगाइए: 2 वर्ष में $r %$ और $r %$ की दो क्रमिक बढ़तें हैं, इसलिए कुल बढ़त $= r + r + \frac{r \cdot r}{100} = 2 r + \frac{r ^{2}}{100}$ प्रतिशत। यही प्रभावी प्रतिशत है: 2 वर्ष का ब्याज मूलधन का इतने प्रतिशत होता है।

3 वर्ष के लिए इसे तीसरे $r %$ से फिर मिलाने पर $3 r + \frac{3 r ^{2}}{100} + \frac{r ^{3}}{10000}$ आता है। तीनों पदों का अर्थ: $3 r$ = तीन वर्ष का साधारण ब्याज, $\frac{3 r ^{2}}{100}$ = ब्याज पर ब्याज के तीन टुकड़े, $\frac{r ^{3}}{10000}$ = ब्याज-पर-ब्याज पर ब्याज।

∑ सूत्र

C I_{2} = P \cdot \frac{2 r + \frac{r ^{2}}{100}}{100}, C I_{3} = P \cdot \frac{3 r + \frac{3 r ^{2}}{100} + \frac{r ^{3}}{10000}}{100}

2 और 3 वर्ष का ब्याज, प्रभावी प्रतिशत से

दर	2 वर्ष का ब्याज (% of P)	3 वर्ष का ब्याज (% of P)
4%	8.16%	12.4864%
5%	10.25%	15.7625%
6%	12.36%	19.1016%
8%	16.64%	25.9712%
10%	21%	33.1%
12%	25.44%	40.4928%
15%	32.25%	52.0875%
20%	44%	72.8%

ध्यान दें3 वर्ष वाले प्रतिशत को अंकों की जगह से लिखिए: 4% पर

12 + 0.48 + 0.0064 = 12.4864

। दशमलव गलत जगह लगना यहाँ की सबसे आम गलती है।

कदम

वर्षों के अनुसार प्रभावी प्रतिशत निकालिए (2 वर्ष या 3 वर्ष का सूत्र)।
ब्याज = मूलधन × प्रभावी % ÷ 100।
मूलधन पूछा हो तो उलटा: मूलधन = ब्याज × 100 ÷ प्रभावी %।

उदाहरण 9 · आसान

₹7,500 पर 6% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

16% का भिन्न $\frac{3}{50}$ है, जिसकी घातें बड़ी हैं; इसलिए प्रभावी प्रतिशत लेते हैं।
22 वर्ष का प्रभावी % $= 2 \times 6 + \frac{6 ^{2}}{100} = 12 + 0.36 = 12.36%$ ।
3ब्याज $= 7500 \times \frac{12.36}{100} = ₹927$ ।

उत्तर ₹927

0.36% वाला हिस्सा पहले वर्ष के ब्याज (6%) पर दूसरे वर्ष बना ब्याज है।

उदाहरण 10 · मध्यम

₹10,000 पर 7% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

13 वर्ष का प्रभावी % $= 3 r + \frac{3 r ^{2}}{100} + \frac{r ^{3}}{10000}$ , $r = 7$ ।
2 $= 21 + \frac{3 \times 49}{100} + \frac{343}{10000} = 21 + 1.47 + 0.0343 = 22.5043%$ ।
3ब्याज $= 10000 \times \frac{22.5043}{100} = ₹2, 250.43$ ।

उत्तर ₹2,250.43

उदाहरण 11 · मध्यम

9% वार्षिक चक्रवृद्धि दर पर किसी राशि का 2 वर्ष का ब्याज ₹2,821.50 है। राशि क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

12 वर्ष का प्रभावी % $= 18 + \frac{81}{100} = 18.81%$ , यानी ब्याज मूलधन का 18.81% है।
2मूलधन × $\frac{18.81}{100} = 2, 821.50$ ⟹ मूलधन $= \frac{2 , 821.50 \times 100}{18.81} = ₹15, 000$ ।

उत्तर ₹15,000

विकल्प हों तो जाँच और तेज़ है: ₹15,000 का 18.81% = ₹2,821.50 ✓।

आसानपहले खुद करके देखें

मीना ने ₹12,500,

8%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष के लिए जमा किए। उसे कितना ब्याज मिलेगा?

आसानपहले खुद करके देखें

₹62,500 पर

4%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष बाद मिश्रधन क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

सलमा ने ₹20,000,

11%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष के लिए जमा किए। उसे कितना ब्याज मिलेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी राशि पर

7%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का ब्याज ₹4,347 है। राशि ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

अनिल ने ₹50,000,

6%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष के लिए जमा किए। उसे कितना ब्याज मिलेगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

किसी राशि पर

9%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष का ब्याज ₹5,900.58 है। राशि ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

₹40,000 पर

3%

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष बाद मिश्रधन क्या होगा?

वर्षवार ब्याज-ट्री और CI − SI

हर वर्ष का ब्याज अलग देखना

ब्याज को “मूलधन पर ब्याज” और “ब्याज पर ब्याज” में तोड़कर हर वर्ष का ब्याज, CI−SI और उनसे जुड़े अनुपात।

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ब्याज-ट्री: 2 वर्ष

मूलधन

= b^{2}

इकाई

दो वर्षों का ब्याज मूलधन पर ब्याज और ब्याज पर ब्याज में बाँटकर देखना।

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ब्याज-ट्री: 3 वर्ष

मूलधन

= b^{3}

· अंतर

3 x + 1

तीन वर्षों में हर वर्ष का ब्याज, कुल CI और CI−SI।

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CI − SI के सूत्र

P (\frac{R}{100})^{2}

\times (3 + \frac{R}{100})

2 और 3 वर्ष के अंतर के सूत्र और उनसे मूलधन या दर निकालना।

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CI और SI के अनुपात वाले प्रश्न

SI को आधार मानो

CI : SI, CI₂ : SI₁, D₃ : D₂ जैसे अनुपातों से दर निकालना।

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लगातार वर्षों का संबंध

अगला = पिछला ×

(1 + \frac{R}{100})

किसी वर्ष का ब्याज (या मिश्रधन) अगले वर्ष R% बढ़ जाता है — इससे दर और मूलधन निकालना।

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जब दर या अवधि बदले

अलग दरें · भिन्न वर्ष · छमाही-तिमाही

हर वर्ष अलग दर, पूरे वर्षों के साथ कुछ महीने/दिन, और साल में एक से अधिक बार ब्याज जुड़ना।

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हर वर्ष अलग दर

P (1 + \frac{R _{1}}{100}) (1 + \frac{R _{2}}{100}) \dots

पहले, दूसरे, तीसरे वर्ष अलग-अलग दरें — गुणक अलग, फिर सबका गुणा।

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पूरे वर्ष + कुछ महीने/दिन

बचे हिस्से पर साधारण ब्याज

वार्षिक संयोजन में 2 वर्ष 4 माह या 1 वर्ष 73 दिन जैसा समय।

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छमाही और तिमाही संयोजन

दर ÷ 2 या 4, अवधियाँ × 2 या 4

जब ब्याज साल में दो या चार बार मूलधन में जुड़ता है।

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उलटे प्रश्न: दर, समय, मूलधन

मूल · गुना · दो मिश्रधन

मिश्रधन ज्ञात हों तो दर, समय या मूलधन निकालना।

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मूल लेकर दर या समय

n A / P

= एक वर्ष का गुणक

मूलधन और मिश्रधन से दर (मूल लेकर) या समय (घात पहचानकर)।

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“x गुना” वाले प्रश्न

T

में

x

गुना ⟹

k T

में

x^{k}

गुना

राशि कुछ वर्षों में दोगुनी/तिगुनी हो — तब किसी और गुने का समय या दर।

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दो समयों पर दो मिश्रधन

बराबर अंतर:

P = \frac{A _{1}^{2}}{A _{2}}

दो अलग समयों के मिश्रधन से दर और मूलधन।

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कर्ज़: किस्तें, भुगतान, बँटवारा

आज का मूल्य = बाद की रक़म ÷ गुणक

बराबर वार्षिक किस्तें, हर वर्ष कुछ रक़म लौटाना, और राशि को ऐसे बाँटना कि बाद में सबको बराबर मिले।

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बराबर वार्षिक किस्तें

हर किस्त का आज का मूल्य जोड़ो

कर्ज़ को बराबर वार्षिक किस्तों में चुकाना — किस्त से कर्ज़ या कर्ज़ से किस्त।

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हर वर्ष कुछ रक़म लौटाना

× गुणक, फिर − भुगतान

कर्ज़ में हर वर्ष के अंत में कुछ रक़म लौटाई जाए — आख़िर में कितना बचा, या पहले कितना दिया।

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राशि को ऐसे बाँटना कि बाद में बराबर मिले

हिस्से ∝ 1 ÷ वृद्धि

अलग-अलग समय तक बढ़ने वाले हिस्से, जिनके मिश्रधन बराबर हों।

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वृद्धि और ह्रास

जनसंख्या · मशीन की घिसाई

चक्रवृद्धि का सूत्र पैसे के बाहर: जनसंख्या, पेड़, जीवाणु, और मशीन या वाहन की घटती कीमत।

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जनसंख्या वृद्धि

P (1 \pm \frac{R}{100})^{n}

जनसंख्या का बढ़ना-घटना, अलग-अलग वर्षों में अलग दर, जन्म और मृत्यु दर, और पीछे का मान।

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ह्रास (घटती कीमत)

गुणक

1 - \frac{R}{100}

मशीन, वाहन, कंप्यूटर की कीमत हर वर्ष प्रतिशत से घटना।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

कौन-सी विधि कब

प्रश्न पढ़ते ही विधि चुनने के लिए एक पन्ना।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर प्रकार के प्रश्न मिले-जुले; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव — कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

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चक्रवृद्धि ब्याज: विधियाँ और शॉर्टकट

नींव: जोड़ो नहीं, गुणा करो

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन

विचार

कदम

अनुपात (इकाई) विधि

विचार

कदम

प्रभावी प्रतिशत (2 और 3 वर्ष)

विचार

कदम

वर्षवार ब्याज-ट्री और CI − SI

ब्याज-ट्री: 2 वर्ष

ब्याज-ट्री: 3 वर्ष

CI − SI के सूत्र

CI और SI के अनुपात वाले प्रश्न

लगातार वर्षों का संबंध

जब दर या अवधि बदले

हर वर्ष अलग दर

पूरे वर्ष + कुछ महीने/दिन

छमाही और तिमाही संयोजन

उलटे प्रश्न: दर, समय, मूलधन

मूल लेकर दर या समय

“x गुना” वाले प्रश्न

दो समयों पर दो मिश्रधन

कर्ज़: किस्तें, भुगतान, बँटवारा

बराबर वार्षिक किस्तें

हर वर्ष कुछ रक़म लौटाना

राशि को ऐसे बाँटना कि बाद में बराबर मिले

वृद्धि और ह्रास

जनसंख्या वृद्धि

ह्रास (घटती कीमत)

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास — सेट 1

मिश्रित अभ्यास — सेट 2

दोहराव — कार्ड और जाल

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