वृत्त: कोण और चक्रीय चतुर्भुज

एक जीवा पर बने सारे परिधि-कोण; विकर्णों से चार जोड़ी बराबर कोण; चार बिंदु एक वृत्त पर हैं या नहीं।

एक जीवा $AB$ वृत्त को दो खंडों में बाँटती है। पिछले अध्याय के अनुसार जीवा पर किसी बिंदु $P$ का कोण $\angle APB$ हमेशा केंद्रीय कोण का आधा होता है, चाहे $P$ चाप पर कहीं भी हो। तो $A$ और $B$ तय रखकर $P$ को चाप पर सरकाइए — कोण नहीं बदलता। यही है “एक ही खंड के कोण बराबर”।

दूसरे खंड में बिंदु $R$ हो तो कोण $\angle ARB=180°-\angle APB$: दोनों खंडों के कोण मिलकर पूरे वृत्त का आधा ($\frac{360°}{2}=180°$) बनाते हैं। उलटा भी सही है और यही चार बिंदुओं के एक वृत्त पर होने की परीक्षा है: अगर $P$ और $Q$ जीवा $AB$ की एक ही ओर हों और $\angle APB=\angle AQB$ हो, तो $A,B,P,Q$ एक ही वृत्त पर हैं।

सबसे ज़्यादा काम आने वाली स्थिति: चतुर्भुज $ABCD$ और उसके विकर्ण $AC$, $BD$। चारों भुजाएँ जीवाएँ हैं और हर जीवा को बाकी दो बिंदु एक ही ओर से देखते हैं — इसलिए चार जोड़ी बराबर कोण बनती हैं, जैसा चित्र में रंगों से दिखाया है।

1. जिस कोण का मान पता है उसकी जीवा चिह्नित कीजिए (उसकी दोनों भुजाएँ जहाँ वृत्त पर समाप्त होती हैं)।
2. जो कोण पूछा है उसकी जीवा देखिए। दोनों जीवाएँ एक ही हों और बिंदु एक ही ओर हों तो बराबर; विपरीत ओर हों तो $180°-$।
3. एक ही रंग के कोणों को बराबर लिखिए और त्रिभुज के कोण-योग (180°) से आगे बढ़िए।
4. जब बराबर कोण वृत्त का पता ही न हो तो उलटा प्रमेय: एक ही ओर बराबर कोण ⟹ चार बिंदु एक वृत्त पर।

व्यास पर बना समकोण, उसका उलटा (समकोण त्रिभुज का परिवृत्त) और व्यास पर लंबवत जीवा।

व्यास $AB$ केंद्र से होकर जाता है, इसलिए उसका केंद्रीय कोण सीधी रेखा $180°$ है। परिधि का कोण उसका आधा: अर्धवृत्त में बना कोण $90°$ होता है। यह एक ही खंड वाले नियम का सबसे सुंदर रूप है: $P$ अर्धवृत्त पर कहीं भी जाए, $\angle APB$ हमेशा समकोण रहता है।

उलटा उतना ही काम का है: अगर किसी त्रिभुज में $\angle P=90°$ हो तो उसका कर्ण $AB$ परिवृत्त का व्यास है। इसलिए समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण का मध्य-बिंदु है, परित्रिज्या $R=\frac{\text{कर्ण}}{2}$, और कर्ण की ओर की माध्यिका कर्ण का आधा। एक और नतीजा: $AB$ पर लंबवत जीवा $PQ$ पैर $D$ पर कटे तो $P{D}^2=AD\times DB$ (क्योंकि कटती जीवाओं में $PD\cdot DQ=AD\cdot DB$ और $PD=DQ$)।

1. व्यास दिखे तो उसके सिरों को वृत्त के किसी बिंदु से जोड़कर $90°$ का चिह्न लगाइए।
2. $90°$ दिखे और वृत्त पता न हो तो कर्ण को व्यास मानिए (उलटा)।
3. बचे कोण त्रिभुज के कोण-योग से; लंबाइयाँ पाइथागोरस या $P{D}^2=AD\cdot DB$ से।

चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक वृत्त पर: सम्मुख कोणों का योग 180°, बाह्य कोण, कौन-से चतुर्भुज चक्रीय हैं और उलटी परीक्षा।

चक्रीय चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों का संबंध, समबाहु त्रिभुज की चाप पर बिंदु, और चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल।

दो जीवाएँ भीतर कटें या दो छेदक बाहर मिलें तो उनके बीच का कोण चापों से; केंद्रीय कोणों के रूप में भी।

जब वृत्त का केंद्र चित्र में हो तो कोण खोजने की रणनीति: किन औज़ारों को किस क्रम में लगाएँ।

त्रिभुज के कोण $A$ का समद्विभाजक परिवृत्त को $E$ पर फिर काटे: $E$ चाप का मध्य-बिंदु, तीन समरूप जोड़ियाँ और उनके गुणनफल।

परिकेंद्र, अंतःकेंद्र और लंबकेंद्र से भुजा $BC$ पर बने कोण, अंतःकेंद्र-वाला वृत्त $DB=DI=DC$, और शीर्ष से तीन रेखाओं के बीच के कोण।

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले प्रश्न — पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

सूत्र याद करने के कार्ड और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।