दो वृत्त और स्पर्श करते वृत्त

दो वृत्तों की पाँच स्थितियाँ और हर स्थिति में उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या।

विचार

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा वह रेखा है जो दोनों वृत्तों को छूती है। दोनों वृत्त स्पर्श रेखा के एक ही ओर हों तो सीधी (direct) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा, और अलग-अलग ओर हों तो अनुप्रस्थ (transverse), जो दोनों वृत्तों के बीच से गुज़रती है।

चित्र में छोटा वृत्त बड़े वृत्त की ओर सरकता है। दूरी $d$ घटती जाती है और स्पर्श रेखाओं की संख्या (कोने के घेरे में) $4\to 3\to 2\to 1\to 0$ होती जाती है। अनुप्रस्थ (केसरिया) रेखाएँ तभी तक रहती हैं जब तक वृत्त अलग हैं ($d\ge R+r$); सीधी (गुलाबी) रेखाएँ तब तक रहती हैं जब तक कोई वृत्त दूसरे के भीतर पूरा नहीं छिप जाता ($d\ge R-r$)।

तालिका के अक्षर: $R$ = बड़े वृत्त की त्रिज्या, $r$ = छोटे की, $d$ = दोनों केंद्रों के बीच की दूरी। समकेंद्रिक ($d=0$) वृत्तों की कोई उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा नहीं।

1. $R+r$ और $|R-r|$ निकालिए।
2. $d$ को इन दोनों से तुलना करके ऊपर की तालिका की पंक्ति चुनिए। बराबरी है तो स्पर्श।
3. “कितने $d$ के मान” पूछे हों तो खुली सीमाओं के बीच की पूर्ण संख्याएँ गिनिए।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

सीधी और अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई, स्पर्श करते वृत्तों में $2\sqrt{Rr}$ और स्पर्श बिंदु वाली स्पर्श रेखा।

विचार

दो वृत्त: $O_1$ (त्रिज्या $R$), $O_2$ (त्रिज्या $r$), केंद्रों की दूरी $d$। उनकी सीधी स्पर्श रेखा $AB$ ($A,B$ स्पर्श बिंदु) दोनों त्रिज्याओं $O_{1}A$, $O_{2}B$ पर लंब है, इसलिए वे समांतर हैं। $O_2$ से $O_{1}A$ पर लंब $O_{2}C$ डालिए: $AB{O}_{2}C$ आयत है ($O_{2}C=AB$, $AC=r$), और समकोण त्रिभुज $O_{1}C{O}_2$ में $O_{1}C=R-r$, कर्ण $O_1{O}_2=d$।

अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा में दोनों वृत्त उसके अलग-अलग ओर हैं। $O_{1}A$ को $A$ के आगे $r$ जितना बढ़ाकर $C$ लीजिए ताकि $O_{2}C\parallel AB$ हो; अब $O_{1}C=R+r$ और वही समकोण त्रिभुज बनता है।

1. तय कीजिए कि प्रश्न सीधी ($R-r$) माँगता है या अनुप्रस्थ ($R+r$); वृत्त स्पर्श करते हों तो सीधी $=2\sqrt{Rr}$।
2. समकोण त्रिभुज बनाइए: कर्ण $d$, एक भुजा $R\mp r$, दूसरी भुजा स्पर्श रेखा।
3. जो भुजा अज्ञात है उसे पाइथागोरस से निकालिए (कर्ण $d$ को सदा अलग पहचानिए)।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

बाहर से और भीतर से स्पर्श करते वृत्त: केंद्रों की दूरी, स्पर्श बिंदु और भीतर के वृत्त से जुड़ी जीवा।

विचार

दो वृत्त स्पर्श करते हैं जब उनमें ठीक एक बिंदु $T$ साझा हो। तब दोनों केंद्र और $T$ एक ही सीधी रेखा में होते हैं (क्योंकि $T$ पर साझा स्पर्श रेखा दोनों त्रिज्याओं पर लंब है)। बाहर से स्पर्श में $T$ दोनों केंद्रों के बीच है, इसलिए $d=R+r$; भीतर से स्पर्श में $T$ दोनों केंद्रों के एक ही ओर है, इसलिए $d=R-r$।

भीतर के वृत्त से जुड़ी जीवा

बड़े वृत्त (त्रिज्या $R$) के भीतर छोटा वृत्त (त्रिज्या $r$) $T$ पर स्पर्श करता है। बड़े वृत्त की जो जीवा छोटे वृत्त को $T$ के ठीक उलटी ओर छूती है, वह केंद्र-रेखा पर लंब है और बड़े केंद्र $O$ से $R-2r$ की दूरी पर है (छोटे केंद्र की $R-r$ में से $r$ घटाकर)। आधी जीवा $=\sqrt{R^2-(R-2r{)}^2}=2\sqrt{r(R-r)}$, इसलिए पूरी जीवा $=4\sqrt{r(R-r)}$।

1. बाहर से स्पर्श $\to d=R+r$; भीतर से $\to d=R-r$। स्पर्श बिंदु दोनों केंद्रों की रेखा पर है।
2. जो सामने की त्रिज्या अज्ञात है उसे इसी समीकरण से निकालिए।
3. जीवा का प्रश्न हो तो केंद्र से जीवा की दूरी निकालकर समकोण त्रिभुज (कर्ण $R$) बनाइए।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

दो स्पर्श करते वृत्तों और उनकी स्पर्श रेखा के बीच का तीसरा वृत्त, और दो रेखाओं के बीच वृत्तों की श्रृंखला।

तीसरा वृत्त

दो वृत्त (त्रिज्याएँ $a$, $b$) बाहर से स्पर्श करते हैं और एक रेखा को छूते हैं; उनके बीच नीचे की खाली जगह में एक तीसरा वृत्त (त्रिज्या $c$) दोनों वृत्तों और रेखा को छूता है। पिछली विधि से: स्पर्श बिंदुओं के बीच रेखा पर दूरियाँ $MN=2\sqrt{ab}$, $MP=2\sqrt{ac}$, $PN=2\sqrt{bc}$। चूँकि $P$ बीच में है, $MN=MP+PN$।

दो रेखाओं के बीच के वृत्त

दो रेखाएँ बिंदु $V$ पर मिलती हैं और बीच के द्विभाजक पर वृत्तों की एक श्रृंखला है जो दोनों रेखाओं को छूती है। हर रेखा द्विभाजक से $\alpha$ कोण पर हो तो वृत्त का केंद्र $V$ से $\frac{r}{\sin \alpha }$ दूर है। दो क्रमिक वृत्त स्पर्श करते हैं, इसलिए $\frac{r_2-r_1}{\sin \alpha }=r_1+r_2$ और $\frac{r_2}{r_1}=\frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha }=k$ — त्रिज्याएँ एक गुणोत्तर श्रेणी में बढ़ती हैं।

तालिका के अक्षर: $\alpha$ = हर रेखा और बीच के द्विभाजक के बीच का कोण (रेखाओं के बीच का पूरा कोण $2\alpha$); $k$ = अगले वृत्त और पिछले की त्रिज्या का अनुपात।

1. तीसरा वृत्त हो तो $\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}$ — पहले $\sqrt{a},\sqrt{b}$ निकालिए।
2. दो रेखाओं के बीच वृत्त हों तो $\sin \alpha$ से $k=\frac{1+\sin \alpha }{1-\sin \alpha }$ निकालिए और त्रिज्याएँ $k$ से गुणा करते जाइए।
3. दूरी पूछी हो तो $x/(x+L)=r_1/r_2$ से $x$।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

तीन वृत्तों के केंद्रों का त्रिभुज: त्रिज्याएँ $s-$ सामने की भुजा, समकोण और क्षेत्रफल।

विचार

तीन वृत्त (त्रिज्याएँ $r_1,r_2,r_3$) जोड़े-जोड़े में बाहर से स्पर्श करते हैं, तो हर जोड़ी के केंद्रों की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग है। इसलिए केंद्रों का त्रिभुज $O_1{O}_2{O}_3$ बनता है जिसकी भुजाएँ $r_1+r_2$, $r_2+r_3$, $r_1+r_3$ हैं। इस त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s=r_1+r_2+r_3$ है, और हर त्रिज्या = $s-$(उसके सामने की भुजा)। यह ठीक अंतःवृत्त वाली स्पर्श रेखाओं ($x=s-a$) जैसी बात है — असल में तीनों वृत्त केंद्रों के त्रिभुज के अंतःवृत्त के स्पर्श बिंदुओं से जुड़े हैं।

1. केंद्रों का त्रिभुज बनाइए: भुजाएँ = संबंधित त्रिज्याओं के योग।
2. दूरियाँ दी हों तो $s$ निकालकर $r_1=s-O_2{O}_3$ आदि; त्रिज्याएँ दी हों तो भुजाएँ जोड़कर बनाइए।
3. समकोण या क्षेत्रफल का संकेत हो तो उस त्रिभुज पर पाइथागोरस या हेरॉन लगाइए।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

एक ही केंद्र के दो वृत्त: भीतरी वृत्त को छूती बाहरी वृत्त की जीवा, छल्ले का क्षेत्रफल और उससे जुड़े प्रश्न।

त्रिभुज के कोण $A$ का समद्विभाजक भुजा $BC$ और परिवृत्त को काटता है: तीन गुणनफल नियम और $E$ की विशेषता।

सभी सात विधियाँ एक तालिका में: प्रश्न का संकेत, सूत्र और कौन-सी विधि।

हर विधि से नए अंकों के साथ परीक्षा-स्तर के प्रश्न; पहले पहचानिए कि कौन-सी विधि लगेगी।

हर विधि का एक-वाक्य सार: पहले प्रश्न पढ़कर उत्तर सोचिए, फिर कार्ड पलटिए।