कक्षा के पाँच बच्चों के पास 12, 15, 18, 20 और 25 कंचे हैं। अगर सब मिलाकर बराबर बाँट दें तो हर बच्चे के हिस्से में कंचे आएँगे। यही उनका औसत है — वह एक संख्या जो पूरे समूह का “प्रतिनिधि” हो। परीक्षा में औसत का हर सवाल इसी एक विचार पर टिका है: कुल = औसत × गिनती।
औसत के गुण
औसत कहाँ पड़ता है, और अगर सब संख्याओं में कुछ जोड़ा या उन्हें गुणा किया जाए तो औसत का क्या होता है।
औसत निकालना
औसत के चार सीधे गुण और छूटी संख्या निकालना।
- औसत हमेशा सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के बीच में होता है। 12, 15, 25 का औसत 17.33 — 12 से बड़ा, 25 से छोटा।
- सब संख्याएँ बराबर हों तो औसत भी वही संख्या है: 7, 7, 7, 7 का औसत 7।
- शून्य भी गिना जाता है। 4, 8, 0 का औसत है, नहीं।
- औसत और गिनती मालूम हो तो कुल मालूम: कुल = औसत × गिनती — इसी से बाक़ी सारे सूत्र बनते हैं।
- 1योग ।
- 2औसत
- 1कुल ।
- 2छह का योग ⟹ सातवीं
सबमें जोड़ने या गुणा करने पर
हर संख्या में जो भी जोड़ें, घटाएँ, गुणा करें या भाग दें — औसत पर वही असर पड़ता है।
| हर संख्या पर | औसत पर |
|---|---|
| जोड़ें | जुड़ता है |
| घटाएँ | घटता है |
| से गुणा | से गुणा |
| से भाग | से भाग |
- 14 से गुणा: औसत ।
- 2फिर 3 जोड़ें:
श्रेणियों का औसत
प्राकृत, सम, विषम संख्याओं, वर्ग-घन और बराबर अंतर वाली श्रेणियों का सीधा औसत।
पहली संख्याओं का औसत
प्राकृत, सम, विषम, वर्ग, घन और किसी संख्या के गुणजों का औसत।
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बराबर अंतर वाली श्रेणी
जब पद बराबर अंतर पर हों तो औसत पहले और अंतिम पद का औसत होता है।
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भारित औसत
जब हर समूह में अलग गिनती हो तो औसतों का सीधा औसत नहीं, कुल ÷ कुल गिनती।
दो समूहों का मिला हुआ औसत
समूहों के कुल जोड़कर कुल गिनती से भाग दीजिए।
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हिस्सा हटाने पर और पास / फेल
कुल का औसत और एक हिस्से का औसत दिया हो तो बाक़ी का औसत; और पास-फेल की संख्या।
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औसत में बदलाव
कोई संख्या जुड़े, हटे या बदले तो औसत कैसे बदलता है — और उसी से वह संख्या निकालना।
जोड़ना, हटाना और बदलना
तीनों स्थितियों में कुल का बदलाव निकालना काम का है।
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औसत आयु
हर सदस्य की आयु साथ-साथ बढ़ती है, इसलिए औसत भी उतना ही बढ़ता है; कोई आए या जाए तो कुल सुधारिए।
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औसत चाल
चालों का साधारण औसत नहीं — दूरी और समय का हिसाब।
औसत चाल के तीन रूप
दो, तीन बराबर दूरियों पर और बराबर समयों पर औसत चाल।
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जाल और तेज़ चालें
औसत में अंक कैसे कटते हैं और जल्दी कैसे हल करें।
सबसे आम गलतियाँ
जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।
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तेज़ चालें
लंबे जोड़ से बचाने वाली चालें।
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अभ्यास की सीढ़ी
हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।
स्तर 1 — आसान
एक नियम वाले प्रश्न।
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स्तर 2 — मध्यम
परीक्षा-स्तर के प्रश्न।
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स्तर 3 — कठिन
प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।
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दोहराव — सूत्र कार्ड
हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।
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