2D क्षेत्रमिति: रास्ते, खर्च और जुड़ी हुई आकृतियाँ

मैदान, बगीचे, फ़्रेम या पूल के चारों ओर एक समान चौड़ाई की पट्टी का क्षेत्रफल, खर्च और चौड़ाई।

आयताकार मैदान के चारों ओर एक समान चौड़ाई का रास्ता ($w$ = चौड़ाई) हो तो रास्ते का क्षेत्रफल निकालने का तरीका एक ही है: बड़ी आकृति का क्षेत्रफल − छोटी आकृति का क्षेत्रफल। फ़र्क़ बस यह है कि बड़ी और छोटी कौन-सी है।

• रास्ता बाहर है: मैदान छोटी आकृति है। रास्ता उसके दोनों सिरों पर जुड़ता है, इसलिए लंबाई और चौड़ाई दोनों $2w$ बढ़ती हैं: बड़ी आकृति $(l+2w)\times (b+2w)$।
• रास्ता भीतर है: मैदान बड़ी आकृति है और बचा हुआ बीच का भाग छोटी। दोनों माप $2w$ घटती हैं: छोटी आकृति $(l-2w)\times (b-2w)$।

चित्र से सूत्र अपने-आप बनता है। बाहर के रास्ते में चार पट्टियाँ और चार कोने के वर्ग हैं: $2lw+2bw+4w^2$। भीतर के रास्ते में पट्टियाँ आपस में कोनों पर मिलती हैं, इसलिए कोने के चार वर्ग दो बार गिनने से बचाने के लिए घटते हैं: $2lw+2bw-4w^2$।

एक सुंदर शॉर्टकट: रास्ते के ठीक बीच से गुज़रती बिंदीदार रेखा एक आयत बनाती है। रास्ते का क्षेत्रफल $=w\times$ (उस बीच वाली रेखा की लंबाई)। जाँचिए: बाहर के रास्ते के बीच वाले आयत की भुजाएँ $l+w$ और $b+w$ हैं, परिमाप $2(l+b+2w)$, और $w\times 2(l+b+2w)=2w(l+b)+4w^2$ ✓। दूसरा काम का तथ्य: बाहरी परिमाप − भीतरी परिमाप $=8w$ (चार कोनों से दो-दो बार $w$)।

1. आकृति खींचिए; तय कीजिए रास्ता मैदान के बाहर है या भीतर।
2. बाहर हो तो $l+2w,b+2w$; भीतर हो तो $l-2w,b-2w$ लिखिए (दोनों सिरों के कारण $2w$)।
3. दोनों आयतों के क्षेत्रफल निकालकर घटाइए (या $2w(l+b)\pm 4w^2$ लगाइए और जाँचिए)।
4. खर्च पूछा हो तो क्षेत्रफल × दर। चौड़ाई पूछी हो तो बाहरी भुजा − भीतरी भुजा = $2w$।

दो रास्ते (लंबाई और चौड़ाई के समांतर) बीच से कटते हों तो रास्तों का क्षेत्रफल, बचा भाग, खर्च और चौड़ाई।

पार्क या खेत के बीच से दो रास्ते निकलते हों — एक लंबाई के समांतर और एक चौड़ाई के समांतर — तो दोनों के बीच में एक साझा चौराहा (छोटा आयत) बनता है। दोनों रास्तों का क्षेत्रफल अलग-अलग जोड़ेंगे तो यह चौराहा दो बार गिना जाएगा, इसलिए एक बार घटाना पड़ेगा।

दूसरा सूत्र बहुत काम का है: रास्ते चाहे बीच से निकलें, चाहे किनारे पर हों, बचा हुआ भाग उतना ही रहता है — क्योंकि बचे टुकड़ों को खिसकाकर जोड़ दें तो वे एक आयत $(l-w_2)\times (b-w_1)$ बन जाते हैं (दाएँ चित्र में)। इसलिए बचे भाग का क्षेत्रफल पूछा हो तो रास्तों का क्षेत्रफल निकालने की ज़रूरत नहीं।

1. तय कीजिए कौन-सा रास्ता लंबाई के समांतर है (चौड़ाई $w_1$) और कौन-सा चौड़ाई के समांतर (चौड़ाई $w_2$)।
2. रास्तों का क्षेत्रफल: $l{w}_1+b{w}_2-w_1{w}_2$ (या बराबर चौड़ाई हो तो $w(l+b-w)$)।
3. बचा भाग: सीधे $(l-w_2)(b-w_1)$, या कुल $lb$ में से रास्ते घटाकर।
4. खर्च = क्षेत्रफल × दर; चौड़ाई अज्ञात हो तो $w^2-(l+b)w+A=0$ का छोटा मूल।

गोल पार्क, कुएँ, फ़व्वारे या तालाब के चारों ओर एक समान चौड़ाई का छल्ला: क्षेत्रफल, खर्च और चौड़ाई।

गोल मैदान के चारों ओर एक समान चौड़ाई का रास्ता दो संकेंद्री वृत्तों (एक ही केंद्र) के बीच का छल्ला है। आयत वाली बात यहाँ भी लागू है: बड़ा वृत्त − छोटा वृत्त। बस अब लंबाई-चौड़ाई की जगह त्रिज्याएँ आती हैं, और रास्ते की चौड़ाई $w$ दोनों त्रिज्याओं का अंतर है।

• बाहर का रास्ता (मैदान की त्रिज्या $r$): बाहरी त्रिज्या $R=r+w$, भीतरी $r$।
• भीतर का रास्ता (मैदान की त्रिज्या $R$): बाहरी $R$, भीतरी $R-w$।

$\pi (R+r)(R-r)$ रूप सबसे तेज़ है: $R-r=w$ और $R+r=2r+w$ (या भीतर के रास्ते में $2R-w$)। शॉर्टकट: रास्ते का क्षेत्रफल $=w\times$ (बीच वाले वृत्त की परिधि), क्योंकि बीच वाले वृत्त की त्रिज्या $\frac{R+r}{2}$ है और $w\times 2\pi \frac{R+r}{2}=\pi w(R+r)$ ✓। और दोनों परिधियों का अंतर $2\pi R-2\pi r=2\pi w$ — चौड़ाई निकालने के लिए बहुत काम का।

1. बाहरी और भीतरी त्रिज्याएँ लिखिए (व्यास हो तो आधा कीजिए; बाहर/भीतर का ध्यान रखिए)।
2. $A=\pi (R+r)(R-r)$ लगाइए।
3. चौड़ाई पूछी हो तो $2\pi w=C_{\text{बाहरी}}-C_{\text{भीतरी}}$ या $R-r$; खर्च = क्षेत्रफल × दर।

घेरने का खर्च, फाटक की जगह, तार की कई लड़ें, तीन भुजाओं पर बाड़ और खंभों की गिनती।

कालीन की लंबाई, टाइलों की गिनती, किनारे की टाइलें, सबसे बड़ी टाइल (HCF), बर्बादी और दो विकल्पों की तुलना।

चार दीवारों का क्षेत्रफल, दरवाज़े-खिड़कियाँ, छत, कई बार रंग, वॉलपेपर की लंबाई और फ़र्श से कमरे की माप।

खूँटे, कोने और दीवार से बँधे पशु का चरने योग्य क्षेत्र: ¼, ½, ¾ वृत्त, रस्सी लंबी हो तो मुड़ना, रस्सी बढ़ाना।

दो सीधे + दो अर्धवृत्त वाले ट्रैक का चक्कर, लेन, क्षेत्रफल और शुरुआत की रेखा; आयताकार मैदान में विकर्ण से बचत।

वर्ग में वृत्त, वृत्त में वर्ग, समबाहु त्रिभुज और षट्भुज; बर्बादी, अनुपात और चेन में बनी आकृतियाँ।

त्रिभुज के आधार पर टिका वर्ग, समकोण का वर्ग, अधिकतम आयत, अर्धवृत्त में वर्ग और समकोण त्रिभुज में वृत्त।

एक-दूसरे को छूते वृत्त: घेरने वाला वृत्त, कसा हुआ पट्टा, शीट से टिकियाँ काटना (चौकोर और टेढ़ी कतारें) और बीच की ख़ाली जगह।

छायांकित भाग को सरल आकृतियों के जोड़-घटाव में तोड़ना: वर्ग में वृत्त, पंखुड़ी, फूल, चाँद (लूनी), अर्धवृत्त में त्रिभुज और छल्ले का भाग।

आयत, वर्ग, त्रिभुज और वृत्त में माप बदलने पर क्षेत्रफल का परिवर्तन, क्षेत्रफल बराबर रखने की शर्त और समरूप आकृतियाँ।

तार/रस्सी को आयत से वर्ग या वृत्त में मोड़ना, सबसे अधिक क्षेत्रफल वाली आकृति, और क्षेत्रफल व परिमाप से भुजाएँ।

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र या शॉर्टकट लगाएँ।

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले प्रश्न — त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त और इस अध्याय की सभी विधियाँ।

सूत्र और शॉर्टकट याद करने के कार्ड, और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।