सांख्यिकी 1: आँकड़े, माध्य, माध्यिका और बहुलक

SSC · RRB · राज्य परीक्षाएँ — विधि-दर-विधि

6 भाग9 हल किए उदाहरण18 अभ्यास प्रश्न

चार विद्यार्थियों के अंक 30, 40, 40 और 50 हैं। पूरी सूची याद रखने की जगह हम एक संख्या में उनका हाल कहना चाहते हैं: “औसतन 40 अंक”। सांख्यिकी (statistics) यही करती है: आँकड़े इकट्ठा करना, उन्हें सजाना, एक-दो संख्याओं में संक्षेप में कहना और उनसे निष्कर्ष निकालना।

पर एक संख्या काफ़ी नहीं है। अंक 40, 40, 40, 40 हों या 10, 20, 60, 70, दोनों का माध्य 40 है, फिर भी दोनों कक्षाएँ बिलकुल अलग हैं। इसलिए दो प्रश्न पूछे जाते हैं: (1) आँकड़ों का केंद्र कहाँ है? और (2) वे केंद्र के आसपास कितने बिखरे हैं?

प्रश्न	माप	इस अध्याय में
केंद्र कहाँ है?	माध्य, माध्यिका, बहुलक	यही चैप्टर: समूह ब, स, द
कितना बिखरे हैं?	विस्तार, माध्य विचलन, प्रसरण, मानक विचलन, विचरण गुणांक	सांख्यिकी 2
किस स्थान पर कितने हैं? आकार कैसा है?	चतुर्थक, शतमक, विषमता, सामान्य वक्र	सांख्यिकी 2

यहाँ: समूह अ (पहला) में आँकड़ों को सारणी और चित्र में सजाने की भाषा है; समूह इ (सारणी और चार्ट से) में सारणी पढ़ने के और परीक्षा के जाल हैं। दूसरे और तीसरे प्रश्न (फैलाव और आकार) का पूरा हल अगले चैप्टर सांख्यिकी 2: फैलाव, चतुर्थक और वितरण का आकार में है।

जुड़ावहमारे औसत अध्याय में माध्य के कुल-और-गिनती वाले सवाल (दो समूह, एक का जुड़ना-हटना आदि) विस्तार से हैं, और डेटा इंटरप्रिटेशन अध्यायों में चार्ट पढ़ना। यहाँ हम उनके ऊपर सांख्यिकी की इमारत बनाते हैं: बारंबारता सारणी, वर्ग-आँकड़ों का माध्य, माध्यिका और बहुलक।

आँकड़े और बारंबारता सारणी

सारणी · वर्ग · चित्र

आँकड़ों के प्रकार, मिलान चिह्न और बारंबारता, वर्ग-अंतराल और सीमाएँ, तथा आँकड़ों को चित्र में दिखाना।

किसी भी माप को निकालने से पहले आँकड़े सजे हुए चाहिए। ये तीन भाग आगे की हर विधि की भाषा हैं: आँकड़ा क्या होता है और उसे कैसे गिना जाता है, वर्ग-अंतराल की हर शर्त, और आँकड़ों को चित्रों में कैसे दिखाते हैं।

आँकड़े, चर और बारंबारता

मिलान चिह्न · बारंबारता

आँकड़ों के प्रकार, कच्चे और वर्गीकृत आँकड़े, मिलान चिह्न, बारंबारता और सापेक्ष बारंबारता।

विचार

जो कुछ हम गिनते या मापते हैं (अंक, आयु, ऊँचाई, परिवार में बच्चे) उसके हर एक मान को प्रेक्षण या आँकड़ा कहते हैं, और जिस चीज़ का माप लिया जा रहा है उसे चर (variable) कहते हैं। जब तक सूची जैसी की तैसी है, उसे कच्चे आँकड़े (raw data) कहते हैं। एक ही मान बार-बार आए तो उसे गिनकर लिखना सुविधाजनक है; किसी मान के आने की कुल संख्या उसकी बारंबारता (frequency) है, और ऐसी सूची बारंबारता सारणी कहलाती है।

शब्द	अर्थ	उदाहरण
असतत चर	केवल गिने जा सकने वाले (अलग-अलग) मान	परिवार में बच्चे, गोल, जूते का नाप
सतत चर	किन्हीं दो मानों के बीच कोई भी मान संभव	ऊँचाई, वज़न, समय, वर्षा
कच्चे आँकड़े	बिना क्रम या समूह के मूल सूची	12, 15, 12, 18, 15, 12
मिलान चिह्न	गिनती का निशान; पाँचवाँ निशान चार पर आड़ा	\|\|\|\|
बारंबारता $f$	मान कितनी बार आया	12 → 3 बार
सापेक्ष बारंबारता	बारंबारता ÷ कुल (प्रतिशत में भी)	$\frac{3}{6} = 50%$

यहाँ: $f$ = बारंबारता, $N$ = कुल बारंबारता ( $N = \sum f$ , यानी सब बारंबारताओं का योग)।

∑ सूत्र

N = \sum f, सापेक्ष बारंबारता = \frac{f}{N}

कुल और सापेक्ष बारंबारता

$f$: किसी एक मान या वर्ग की बारंबारता
$N$: कुल बारंबारता = कुल प्रेक्षणों की संख्या
$\sum f$: सब बारंबारताओं का जोड़ (Σ = “जोड़”)

जाँचसापेक्ष बारंबारताओं का जोड़ हमेशा 1 (या 100%) होता है। यह जाँच है कि कोई मान छूटा या दोहराया तो नहीं।

कदम: कच्चे आँकड़ों से सारणी

सबसे छोटे से सबसे बड़े तक सब अलग-अलग मान एक स्तंभ में लिखिए।
सूची को ऊपर से नीचे एक ही बार पढ़िए और हर मान के आगे मिलान चिह्न लगाइए।
चिह्न गिनकर बारंबारता $f$ लिखिए और जाँचिए कि $\sum f$ = कुल प्रेक्षण है।
चाहें तो सापेक्ष बारंबारता $\frac{f}{N}$ और संचयी बारंबारता (अब तक का जोड़) का स्तंभ जोड़िए।

उदाहरण 1 · आसान

एक लीग के 24 मैचों में से हर एक में किए गए गोलों की संख्या ये दर्ज की गईं: 5, 3, 3, 4, 3, 3, 0, 2, 1, 6, 1, 2, 2, 1, 4, 4, 5, 4, 1, 3, 6, 6, 5, 5। मान 2 की बारंबारता क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1सूची को एक बार पढ़ते हुए हर मान के लिए मिलान चिह्न लगाइए और गिनिए। गिनती: 0→1, 1→4, 2→3, 3→5, 4→4, 5→4, 6→3। जोड़ $= 24$ , अतः कोई मान छूटा या दो बार गिना नहीं गया।
22 के सामने गिनती 3 है; यही उसकी बारंबारता है।

उत्तर 3

गिनते समय हर मान को सूची में काटते जाइए।

उदाहरण 2 · मध्यम

एक बस-स्टैंड पर 20 बसों के आने पर प्रति बस यात्रियों की गिनती के बजाय “प्रति बस खाली सीटों” को 1 से 5 तक दर्ज किया गया: 3, 3, 1, 4, 5, 1, 2, 1, 4, 1, 5, 3, 2, 4, 3, 1, 1, 5, 1, 5। बारंबारता, सापेक्ष बारंबारता (%) और संचयी बारंबारता सहित सारणी बनाइए।

हल, कदम-दर-कदम

1मान 1 से 5 तक हैं, इसलिए पाँच पंक्तियाँ बनाकर सूची को एक बार पढ़ते हुए मिलान चिह्न लगाइए और गिनिए: 1→7, 2→2, 3→4, 4→3, 5→4।
2जाँच: $7 + 2 + 4 + 3 + 4 = 20$ , यानी सब 20 बसें गिनी गईं।
3सापेक्ष बारंबारता $\frac{f}{20} \times 100$ : 35%, 10%, 20%, 15%, 20%; इनका जोड़ 100% है।
4संचयी बारंबारता (चलता जोड़): 7, 9, 13, 16, 20; आख़िरी संख्या 20 कुल 20 के बराबर है।

उत्तर $खाली सीटें बारंबारता संचयी बारंबारता (c f) 177229341343165420$

संचयी बारंबारता की आख़िरी संख्या कुल के बराबर हो, यह जाँचिए।

उदाहरण 3 · मध्यम

24 पैकेटों में से हर एक में खराब बिस्कुटों की संख्या ये दर्ज की गईं: 0, 1, 3, 3, 2, 2, 2, 0, 2, 4, 0, 3, 4, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 2, 3, 1। मान 3 की सापेक्ष बारंबारता प्रतिशत में क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1सूची को एक बार पढ़ते हुए हर मान के लिए मिलान चिह्न लगाइए और गिनिए। गिनती: 0→3, 1→2, 2→9, 3→6, 4→4। जोड़ $= 24$ , अतः कोई मान छूटा या दो बार गिना नहीं गया।
2सापेक्ष बारंबारता $= \frac{बारंबारता}{कुल} = \frac{6}{24}$ ।
3प्रतिशत में $\frac{6}{24} \times 100 = 25%$ ।

उत्तर 25%

हर में कुल मानों की गिनती आती है, उस मान की नहीं।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

24 परिवारों में से हर एक के सदस्यों की संख्या ये दर्ज की गईं: 6, 6, 2, 3, 6, 2, 4, 4, 8, 4, 3, 4, 5, 8, 6, 3, 5, 6, 6, 4, 5, 4, 5, 4। मान 6 की बारंबारता क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

पुस्तकालय से एक सप्ताह में 24 विद्यार्थियों में से हर एक द्वारा ली गई पुस्तकों की संख्या ये दर्ज की गईं: 2, 4, 4, 4, 2, 6, 3, 1, 3, 4, 2, 5, 3, 3, 5, 3, 5, 4, 3, 5, 1, 7, 3, 4। मान 6 की बारंबारता क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

24 दिनों में से हर दिन एक दुकान पर आए ग्राहकों की संख्या ये दर्ज की गईं: 15, 25, 20, 30, 20, 15, 25, 35, 15, 20, 20, 20, 20, 25, 25, 20, 20, 15, 20, 20, 15, 35, 25, 15। मान 20 की सापेक्ष बारंबारता प्रतिशत में क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

24 बसों में से हर एक में यात्रियों की संख्या ये दर्ज की गईं: 40, 30, 50, 40, 30, 70, 50, 60, 60, 30, 40, 60, 60, 20, 50, 50, 40, 40, 40, 50, 50, 30, 30, 50। मान 30 की सापेक्ष बारंबारता प्रतिशत में क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

नीचे में से कौन-सा सतत चर है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

30 प्रेक्षणों की बारंबारता सारणी में एक मान की सापेक्ष बारंबारता 0.2 है। उस मान की बारंबारता क्या है?

वर्ग-अंतराल, सीमाएँ और वर्ग-चिह्न

समूहित आँकड़ों की भाषा

वर्ग-अंतराल, निचली-ऊपरी सीमा, वास्तविक सीमाएँ, वर्ग-चौड़ाई, वर्ग-चिह्न, संचयी बारंबारता (से कम और से अधिक)।

विचार

जब मान बहुत हों या सतत हों (जैसे 30 विद्यार्थियों के अंक) तो हर मान की बारंबारता लिखना बेकार है। तब मानों को सीमित दायरों में बाँट देते हैं, जिन्हें वर्ग-अंतराल (class interval) कहते हैं, जैसे 0–10, 10–20, 20–30, और गिनते हैं कि हर दायरे में कितने मान आए। इसे समूहित आँकड़े (grouped data) कहते हैं। एक वर्ग के दो सिरे हैं: निचली सीमा और ऊपरी सीमा।

शब्द	अर्थ	वर्ग 20–30 में
निचली / ऊपरी सीमा	वर्ग के दोनों सिरे	20 / 30
वर्ग-चौड़ाई $h$	ऊपरी − निचली सीमा	$30 - 20 = 10$
वर्ग-चिह्न $x$	वर्ग का मध्य-मान: सीमाओं का औसत	$\frac{20 + 30}{2} = 25$
संचयी बारंबारता (cf)	इस वर्ग तक की सब बारंबारताओं का चलता जोड़	0–10, 10–20, 20–30 का योग

यहाँ: $h$ और $x$ आगे के हर सूत्र में आएँगे; समूहित आँकड़ों में हर वर्ग के सभी मान उसके वर्ग-चिह्न $x$ पर माने जाते हैं।

दो तरह के वर्ग: अपवर्जी और समावेशी

अपवर्जी (exclusive) वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 में एक वर्ग की ऊपरी सीमा अगले की निचली सीमा है। नियम: सीमा का मान अगले वर्ग में गिना जाता है, इसलिए 10 अंक वाला विद्यार्थी 10–20 में है, 0–10 में नहीं। समावेशी (inclusive) वर्ग 20–29, 30–39, 40–49 में दोनों सीमाएँ उसी वर्ग में शामिल हैं और बीच में 29 से 30 तक खाली जगह दिखती है। गणना (माध्यिका आदि) के लिए यह जगह भरनी पड़ती है: ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर और निचली में से 0.5 घटाकर वास्तविक सीमाएँ (true boundaries) बनाते हैं।

◭ चित्र

समावेशी वर्ग 20–29 और 30–39 की वास्तविक सीमाएँ 19.5, 29.5, 39.5 हैं; बीच की खाली जगह 1 को दोनों ओर आधा-आधा बाँटा गया

∑ सूत्र

x = \frac{निचली + ऊपरी}{2}, h = ऊपरी - निचली, वास्तविक सीमा = दी सीमा \mp \frac{अंतर}{2}

वर्ग-चिह्न, चौड़ाई, वास्तविक सीमा

$x$: वर्ग-चिह्न (वर्ग का मध्य)
$h$: वर्ग-चौड़ाई (वास्तविक सीमाओं का अंतर, या दो क्रमागत निचली सीमाओं का अंतर)
$अंतर$: एक वर्ग की ऊपरी और अगले वर्ग की निचली सीमा का अंतर (समावेशी में 1)

जालवर्ग-चौड़ाई हमेशा दो क्रमागत निचली सीमाओं के अंतर से लीजिए: 20–29, 30–39 में

30 - 20 = 10

, न कि

29 - 20 = 9

। यही सबसे आम जाल है।

कदम: कच्चे आँकड़ों से वर्गीकृत सारणी

विस्तार (सबसे बड़ा − सबसे छोटा) निकालिए और वर्ग-चौड़ाई तय कीजिए (5 से 10 वर्ग बनाने वाली सुविधाजनक चौड़ाई: 5, 10, 20 …)।
वर्गों की संख्या $= \frac{विस्तार}{चौड़ाई}$ , भिन्न आए तो ऊपर की पूर्ण संख्या।
वर्ग लिखिए (पहला वर्ग सबसे छोटे मान से नीचे से शुरू), फिर हर मान के लिए मिलान चिह्न लगाइए; सीमा पर पड़ने वाला मान अगले वर्ग में जाता है।
बारंबारता गिनिए; $\sum f$ को कुल प्रेक्षणों से मिलाइए; चाहें तो cf जोड़िए।

उदाहरण 4 · आसान

30 विद्यार्थियों के अंक (50 में से) ये हैं: 19, 16, 21, 39, 8, 32, 22, 46, 33, 11, 46, 21, 15, 11, 14, 13, 34, 24, 37, 9, 38, 30, 20, 33, 18, 4, 18, 33, 5, 11। वर्ग-चौड़ाई 10 लेकर बारंबारता सारणी और संचयी बारंबारता (से कम) बनाइए।

हल, कदम-दर-कदम

1सबसे छोटा 4 और सबसे बड़ा 46 है, इसलिए 0 से 50 तक पाँच वर्ग काफ़ी हैं: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 (चौड़ाई 10, कुल 5 वर्ग)।
2हर अंक के लिए सही वर्ग में मिलान चिह्न लगाते हैं; सीमा पर आने वाला अंक (जैसे 10, 20, 30, 40) अगले वर्ग में जाता है। गिनती: 4, 10, 5, 9, 2।
3जाँच: $4 + 10 + 5 + 9 + 2 = 30$ , यानी सब 30 विद्यार्थी गिने गए।
4“से कम” cf: 10 से कम → 4; 20 से कम → 14; 30 से कम → 19; 40 से कम → 28; 50 से कम → 30।

उत्तर बारंबारताएँ 4, 10, 5, 9, 2; cf 4, 14, 19, 28, 30

“से अधिक” cf के लिए कुल में से पिछला cf घटाइए।

उदाहरण 5 · आसान

वर्ग-अंतराल 80–90 का वर्ग-चिह्न क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1वर्ग-चिह्न वर्ग के बीच का मान है, यानी निचली और ऊपरी सीमा का औसत।
2 $\frac{80 + 90}{2} = 85$ ।
3जाँच: 85 निचली सीमा 80 से 5 ऊपर और ऊपरी सीमा 90 से 5 नीचे है, यानी ठीक बीच में है।

उत्तर 85

वर्ग-चिह्न दोनों सीमाओं के बीच में ही पड़ता है।

उदाहरण 6 · मध्यम

समावेशी वर्ग 70–79 (दोनों सीमाएँ शामिल) की वास्तविक वर्ग-सीमाएँ (सीमा-रेखाएँ) क्या होंगी?

हल, कदम-दर-कदम

1अगला वर्ग 80–89 है, अतः 79 और 80 के बीच 1 का अंतर है। इस अंतर को दोनों वर्गों में बराबर बाँटने के लिए ऊपरी सीमा में $0.5$ जोड़ते हैं और निचली सीमा में से $0.5$ घटाते हैं।
2वास्तविक सीमाएँ: $70 - 0.5 = 69.5$ और $79 + 0.5 = 79.5$ ।
3जाँच: वास्तविक सीमाओं की चौड़ाई $79.5 - 69.5 = 10$ है, जो दो क्रमागत निचली सीमाओं के अंतर $80 - 70 = 10$ के बराबर है; इसलिए अगला वर्ग ठीक 79.5 से शुरू होगा, बीच में कोई खाली जगह नहीं रहती।

उत्तर 69.5–79.5

अंतर का आधा: यहाँ

\frac{1}{2} = 0.5

।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

वर्ग-अंतराल 100–120 का वर्ग-चिह्न क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक बारंबारता सारणी में क्रमागत वर्गों के वर्ग-चिह्न 57.5, 62.5, 67.5, 72.5 हैं। पहले वर्ग की सीमाएँ क्या हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी आँकड़े का सबसे छोटा मान 60 और सबसे बड़ा मान 91 है। वर्ग-चौड़ाई 5 लेकर आँकड़ों को कितने वर्गों में बाँटना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक फ़ूड-डिलीवरी ऐप पर 100 ऑर्डरों के पहुँचने का समय की बारंबारता सारणी नीचे दी गई है:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 10 - 15 11 15 - 20 18 20 - 25 22 25 - 30 20 30 - 35 18 35 - 40 11

। कितनों का मान 25 से कम है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक क्लिनिक में आए 80 रोगियों की आयु की बारंबारता सारणी नीचे दी गई है:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 20 - 30 11 30 - 40 15 40 - 50 17 50 - 60 18 60 - 70 10 70 - 80 9

। कितनों का मान 60 या उससे अधिक है?

आँकड़ों को चित्र में दिखाना

आयत-चित्र · बहुभुज · ओजाइव · पाई

दंड-आलेख, आयत-चित्र, बारंबारता बहुभुज, संचयी बारंबारता वक्र (ओजाइव), वृत्त-आलेख और असमान वर्ग-चौड़ाई।

विचार

चित्र आँकड़ों का आकार एक नज़र में दिखाता है: कहाँ ढेर है, कहाँ खाली जगह है। आयत-चित्र (histogram) में हर वर्ग एक आयत है; आयत आपस में सटे होते हैं क्योंकि वर्ग-अंतराल के बीच खाली जगह नहीं होती (दंड-आलेख में अलग-अलग श्रेणियों के लिए दंड के बीच जगह छोड़ी जाती है)। आयतों की ऊँचाई बारंबारता है।

◭ चित्र

नीला: आयत-चित्र (सबसे ऊँचा आयत नारंगी: बहुलक वर्ग); गुलाबी: बारंबारता बहुभुज, जो वर्ग-चिह्नों के ऊपर के बिंदुओं को जोड़ता है और दोनों सिरों पर शून्य बारंबारता के काल्पनिक वर्गों तक जाता है

चित्र	कैसे बनता है	किसके लिए
दंड-आलेख	अलग-अलग दंड, बीच में जगह; ऊँचाई = मान	श्रेणियों की तुलना
आयत-चित्र	सटे आयत; चौड़ाई = वर्ग, ऊँचाई = बारंबारता	सतत आँकड़ों का आकार
बारंबारता बहुभुज	वर्ग-चिह्न पर बिंदु, सीधी रेखाएँ, दोनों ओर शून्य बारंबारता वाला एक-एक वर्ग	दो आँकड़ों की तुलना
ओजाइव (संचयी वक्र)	“से कम” में ऊपरी सीमा पर cf; “से अधिक” में निचली सीमा पर cf	माध्यिका और शतमक
वृत्त-आलेख (पाई)	हर भाग का कोण = $\frac{f}{N} \times 36 0^{\circ}$	भागों का हिस्सा

∑ सूत्र

θ = \frac{f}{N} \times 36 0^{\circ}, ऊँचाई = \frac{f}{w} \times h_{0}

पाई कोण और असमान चौड़ाई में ऊँचाई

$θ$: पाई के उस भाग का कोण
$f$: उस वर्ग की बारंबारता
$N$: कुल बारंबारता
$w$: उस वर्ग की चौड़ाई
$h_{0}$: मानक वर्ग-चौड़ाई (सबसे छोटी या सामान्य चौड़ाई)

जालअसमान चौड़ाई में क्षेत्रफल बारंबारता के अनुपात में होना चाहिए, इसलिए चौड़े वर्ग की ऊँचाई घटाइए। केवल ऊँचाई देखकर सबसे बड़ी बारंबारता वाला वर्ग बहुलक वर्ग मान लेना भूल है।

कदम

आयत-चित्र: क्षैतिज अक्ष पर वास्तविक वर्ग-सीमाएँ, ऊर्ध्वाधर पर बारंबारता; हर वर्ग पर उतनी ऊँचाई का आयत।
बहुभुज: हर आयत की ऊपरी भुजा के मध्य (वर्ग-चिह्न) पर बिंदु, बिंदुओं को जोड़िए, और पहले-पीछे के काल्पनिक शून्य-बारंबारता वर्ग तक बढ़ाइए।
ओजाइव: (ऊपरी सीमा, cf) बिंदु लगाइए और पहले (निचली सीमा, 0) जोड़िए।
पाई: हर कोण $\frac{f}{N} \times 36 0^{\circ}$ निकालिए; कोणों का जोड़ $36 0^{\circ}$ आना चाहिए।

◭ चित्र

कुल 50: वर्ग 90–100 (बारंबारता 5) का कोण

\frac{5}{50} \times 36 0^{\circ} = 3 6^{\circ}

उदाहरण 7 · आसान

एक दिन में 40 डिलीवरी-सवारों द्वारा तय दूरी को वृत्त-आलेख (पाई चार्ट) में दिखाना है; बारंबारता सारणी:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 0 - 5 5 5 - 10 9 10 - 15 10 15 - 20 9 20 - 25 7

। वर्ग 0–5 के भाग का कोण कितना होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1पूरे वृत्त का कोण $36 0^{\circ}$ कुल 40 को दर्शाता है।
2इस वर्ग का कोण $= \frac{5}{40} \times 36 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ ।
3जाँच: सभी वर्गों के कोण 45°, 81°, 90°, 81°, 63° हैं; इनका योग $36 0^{\circ}$ है, जो पूरा वृत्त है।

उत्तर 45°

कोण = (बारंबारता ÷ कुल) × 360°।

उदाहरण 8 · मध्यम

एक कॉलोनी के 100 घरों की मासिक बिजली खपत की बारंबारता सारणी नीचे दी गई है:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 100 - 120 13 120 - 140 19 140 - 160 23 160 - 180 20 180 - 200 13 200 - 220 12

। कितनों का मान 140 या उससे अधिक है?

हल, कदम-दर-कदम

1“140 या अधिक” वे हैं जो 140 से कम नहीं। पहले 140 से कम की संख्या: $13 + 19 = 32$ ।
2बाक़ी $= 100 - 32 = 68$ ।
3जाँच: “140 से कम” 32 और “140 या अधिक” 68 मिलकर $32 + 68 = 100$ होते हैं, यानी पूरा कुल; कोई विद्यार्थी/मान न छूटा, न दो बार गिना गया।

उत्तर 68

“अधिक” वाली संख्या = कुल − “कम” वाली संख्या।

उदाहरण 9 · कठिन

एक आयत-चित्र (हिस्टोग्राम) के लिए असमान चौड़ाई वाली बारंबारता सारणी:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 140 - 145 4 145 - 150 6 150 - 160 16 160 - 170 20 170 - 185 36

। वर्ग 170–185 का आयत 5 चौड़ाई के वर्ग के हिसाब से कितनी ऊँचाई (समायोजित बारंबारता) का बनेगा?

हल, कदम-दर-कदम

1इस वर्ग की चौड़ाई $185 - 170 = 15$ है, जबकि मानक चौड़ाई 5 है।
2असमान चौड़ाई में बारंबारता को चौड़ाई के अनुपात से बदलना पड़ता है: $36 \times \frac{5}{15} = 12$ ।
3जाँच: यह वर्ग मानक चौड़ाई 5 से चौड़ा है, इसलिए इसकी पट्टी बारंबारता 36 से नीची होनी चाहिए: 12 < 36। क्षेत्रफल की जाँच: 12 $\times$ 3 (चौड़ाई के 5 वाले भाग) $= 36$ , जो बारंबारता के बराबर है।

उत्तर 12

चौड़ी पट्टी की ऊँचाई घटाओ, तभी क्षेत्रफल बारंबारता के अनुपात में रहेगा।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

एक कारखाने के 72 मज़दूरों की दैनिक मज़दूरी को वृत्त-आलेख (पाई चार्ट) में दिखाना है; बारंबारता सारणी:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 300 - 350 9 350 - 400 14 400 - 450 19 450 - 500 18 500 - 550 12

। वर्ग 450–500 के भाग का कोण कितना होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक स्कूल के 60 विद्यार्थियों की ऊँचाई को वृत्त-आलेख (पाई चार्ट) में दिखाना है; बारंबारता सारणी:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 140 - 145 11 145 - 150 13 150 - 155 14 155 - 160 16 160 - 165 6

। वर्ग 160–165 के भाग का कोण कितना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक आयत-चित्र (हिस्टोग्राम) के लिए असमान चौड़ाई वाली बारंबारता सारणी:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 0 - 50 10 50 - 100 15 100 - 200 40 200 - 300 50 300 - 450 90

। वर्ग 300–450 का आयत 50 चौड़ाई के वर्ग के हिसाब से कितनी ऊँचाई (समायोजित बारंबारता) का बनेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक आयत-चित्र (हिस्टोग्राम) के लिए असमान चौड़ाई वाली बारंबारता सारणी:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 100 - 120 6 120 - 140 9 140 - 180 24 180 - 220 30 220 - 280 54

। वर्ग 140–180 का आयत 20 चौड़ाई के वर्ग के हिसाब से कितनी ऊँचाई (समायोजित बारंबारता) का बनेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक स्कूल के 50 विद्यार्थियों की ऊँचाई की बारंबारता सारणी नीचे दी गई है:

वर्ग - अंतराल बारंबारता (f) 140 - 145 6 145 - 150 8 150 - 155 10 155 - 160 10 160 - 165 8 165 - 170 8

। वर्ग 155–160 की सापेक्ष बारंबारता प्रतिशत में क्या है?

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“से कम” प्रकार के संचयी बारंबारता वक्र (ओजाइव) में कक्षा 30–40 की संचयी बारंबारता किस बिंदु पर लगाई जाती है?

माध्य (अंकगणितीय औसत)

कुल ÷ गिनती · हर रूप में

कच्चे, बारंबारता सारणी और समूहित आँकड़ों का माध्य, भारित और संयुक्त माध्य, सब पर एक क्रिया, सुधार और श्रेणियाँ।

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माध्य: सूची और बारंबारता सारणी

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum x}{n}

\frac{\sum f x}{\sum f}

सूची का माध्य, बारंबारता सारणी का माध्य और माध्य के गुण।

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माध्य: समूहित आँकड़े (तीन विधियाँ)

सीधी · कल्पित माध्य · पद-विचलन

वर्ग-चिह्न से माध्य: प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि और पद-विचलन विधि।

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भारित माध्य और संयुक्त माध्य

हर मान का अपना भार

भार वाले मानों का माध्य, दो समूहों का संयुक्त माध्य और समूहों का अनुपात।

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सब मानों पर एक ही क्रिया

जोड़ना · गुणा · प्रतिशत

हर मान में जोड़ने, घटाने, गुणा करने या प्रतिशत बढ़ाने का माध्य पर असर और उलटा सवाल।

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एक मान जुड़े, हटे, बदले या ग़लत निकले

कुल बदलकर नया माध्य

एक मान का जुड़ना, हटना, बदलना और ग़लत लिखे मान का सुधार।

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छूटी बारंबारता और छूटे मान

माध्य से समीकरण बनाइए

दिए माध्य से सारणी की छूटी एक या दो बारंबारताएँ और सूची के छूटे मान।

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श्रेणियों का माध्य

क्रमागत · सम · विषम · वर्ग · गुणज

प्राकृत, सम, विषम संख्याओं, वर्गों, गुणजों और बराबर अंतर वाली श्रेणी का माध्य।

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माध्यिका

बीच का मान · cf का सूत्र

कच्चे आँकड़ों की माध्यिका, समूहित आँकड़ों की माध्यिका (संचयी बारंबारता से), छूटी बारंबारताएँ और ओजाइव से माध्यिका।

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माध्यिका: कच्चे आँकड़े

क्रम में रखिए · बीच का मान

मानों को क्रम में रखकर बीच का मान या बीच के दो मानों का औसत, और माध्यिका की स्थिरता।

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माध्यिका: समूहित आँकड़े

M = L + \frac{N /2 - c f}{f} \times h

माध्यिका वर्ग और सूत्र, “से कम” सारणी से माध्यिका, ओजाइव, और छूटी बारंबारताएँ।

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ओजाइव से माध्यिका और गिनती

दो वक्रों का कटान-बिंदु = माध्यिका

“से कम” और “से अधिक” ओजाइव, उनके कटान-बिंदु से माध्यिका, और वक्र से किसी मान के नीचे या बीच के मानों की संख्या।

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बहुलक

सबसे ज़्यादा आने वाला

कच्चे और समूहित आँकड़ों का बहुलक, अनुभवजन्य संबंध और सही औसत चुनना।

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बहुलक: कच्चे आँकड़े

गिनिए · सबसे अधिक

बहुलक ढूँढ़ना, द्विबहुलक (दो बहुलक) और बिना बहुलक के आँकड़े।

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बहुलक: समूहित आँकड़े

Mo = L + \frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}} \times h

बहुलक वर्ग पहचानना और बहुलक का सूत्र; असमान चौड़ाई में सावधानी।

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माध्य, माध्यिका, बहुलक का संबंध और सही औसत

= 3

- 2

Mean

अनुभवजन्य संबंध, तीनों का क्रम, और कब कौन-सा औसत चुनें।

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सारणी और चार्ट से हल करना

पढ़ना · जाल · मिश्रित

बारंबारता सारणी से सीधे उत्तर पढ़ना और परीक्षा के आम जाल।

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बारंबारता सारणी से पढ़ना

सबसे आम वर्ग · प्रतिशत · अनुपात

बहुलक वर्ग, “से अधिक” का प्रतिशत, दो वर्गों का अनुपात और हिस्सा, संचयी संख्याएँ।

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जाल: समावेशी वर्ग, असमान चौड़ाई, खुले सिरे

जहाँ अंक जाते हैं

समावेशी वर्ग की वास्तविक सीमाएँ और माध्यिका, असमान चौड़ाई का बहुलक वर्ग, खुले सिरे वाले वर्ग।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब सूत्र एक जगह

इस चैप्टर के सभी सूत्रों की सारणी, परीक्षा जैसे 40 से अधिक मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

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सभी सूत्रों का सार

एक पन्ने में पूरा चैप्टर

आँकड़ों की भाषा, माध्य, माध्यिका, बहुलक और सारणी पढ़ने के सूत्र, हर एक के साथ याद रखने की एक बात।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर विधि के मिले-जुले प्रश्न; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव कार्ड और परीक्षा के सुझाव

पलटकर देखिए, फिर याद कीजिए

सबसे ज़रूरी तथ्यों के पलटने वाले कार्ड, अंतिम सुझाव और अगले चैप्टर का रास्ता।

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