वृत्त: जीवाएँ और कोण

पहले नाम (हर आगे के प्रश्न में आएँगे), फिर चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कोण से।

प्रमेय पढ़ने से पहले शब्द पक्के कर लीजिए। त्रिज्या केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक का टुकड़ा है। जीवा वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला टुकड़ा है। व्यास वह जीवा है जो केंद्र से होकर जाती है — यह सबसे लंबी जीवा है और त्रिज्या से दुगुनी होती है। छेदक वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने वाली पूरी सीधी रेखा है (जीवा उसका भीतरी टुकड़ा है), और स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है (अगले अध्याय में)।

एक जीवा वृत्त को दो चापों में बाँटती है: छोटा (लघु) चाप और बड़ा (दीर्घ) चाप; व्यास दोनों को बराबर बाँटता है, तब हर चाप एक अर्धवृत्त है। केंद्र और चाप के दो सिरे जोड़ने पर त्रिज्यखंड (पिज़्ज़ा का टुकड़ा) बनता है; जीवा और उसका चाप मिलकर खंड बनाते हैं। एक ही केंद्र वाले दो वृत्त संकेंद्री कहलाते हैं।

अब मुख्य विचार: चाप जितना लंबा, केंद्र पर कोण उतना बड़ा। पूरा चक्कर 360° है और पूरी परिधि $2\pi r$। इसलिए $\theta °$ का कोण पूरे चक्कर का $\frac{\theta }{360}$ भाग है — उसी भाग का चाप, और उसी भाग का त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (जैसे चौथाई पिज़्ज़ा = चौथाई परिधि और चौथाई क्षेत्रफल)।

$A=\frac{1}{2}\ell r$ याद रखने लायक है: त्रिज्यखंड लगभग “त्रिभुज” है जिसका आधार चाप $\ell$ और ऊँचाई $r$ है। जब $\ell$ दिया हो तो $\theta$ निकाले बिना सीधे क्षेत्रफल मिल जाता है। खंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड − त्रिभुज (त्रिज्याओं और जीवा वाला त्रिभुज)। $\pi$ के लिए जब त्रिज्या 7 का गुणज हो तो $\frac{22}{7}$ लीजिए।

1. तय कीजिए कि लंबाई (चाप) पूछी है या क्षेत्रफल (त्रिज्यखंड)।
2. कोण को अंशों में लिखिए (घड़ी: 1 मिनट = 6°, 1 घंटा = 30°)।
3. भाग $\frac{\theta }{360}$ को सरल कीजिए, फिर परिधि या क्षेत्रफल से गुणा कीजिए।
4. इकाई जाँचिए: लंबाई = सेमी, क्षेत्रफल = वर्ग सेमी।

सबसे ज़रूरी प्रमेय: केंद्र से जीवा पर लंबवत जीवा को आधा करता है; उससे जीवा, त्रिज्या और दूरी के प्रश्न।

बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं, केंद्र पर बराबर कोण बनाती हैं और बराबर चाप काटती हैं; विशेष जीवाएँ r, r√2, r√3।

दो समांतर जीवाओं के बीच की दूरी, या उनमें से किसी की त्रिज्या/लंबाई — दो मामलों के साथ।

वृत्त के एक बिंदु से दो बराबर जीवाएँ खींचने पर बने समद्विबाहु त्रिभुज से त्रिज्या या तीसरी जीवा निकालना।

दो कटते वृत्तों की साझा जीवा की लंबाई और केंद्रों की दूरी।

जीवाओं के टुकड़ों का गुणनफल; क्यों हर जीवा के लिए एक ही आता है; सबसे छोटी जीवा।

बाहर के बिंदु से खींचे दो छेदक: पूरा × बाहर का हिस्सा; वही नियम जो भीतर था, बस चिह्न उलटा।

दो जीवाएँ समकोण पर कटें तो त्रिज्या और केंद्र की दूरी, तीन अलग रास्तों से।

एक चाप पर केंद्र का कोण और परिधि का कोण; बड़े/छोटे चाप की ओर; त्रिज्या और जीवा का कोण।

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले प्रश्न — पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

सूत्र याद करने के कार्ड और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।