म.स.प. और ल.स.प. (HCF और LCM) — अतिरिक्त अभ्यास
प्रतियोगी गणित · संख्या पद्धति
HCF (महत्तम समापवर्तक) और LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) संख्या पद्धति के सबसे ज़्यादा काम आने वाले औज़ार हैं। जब सवाल कहे “सबसे बड़ा माप जो सबको पूरा बाँटे” तो HCF चाहिए; जब कहे “कितने समय बाद सब फिर साथ होंगे” तो LCM। इस अध्याय में दोनों के तरीके, उनका आपसी संबंध और शेषफल, घंटियों, टाइलों जैसे सब प्रकार के सवाल हैं।
- विचार समझें — HCF और LCM असल में क्या हैं।
- हल किए उदाहरण — हर कदम पर “क्यों?” पूछिए।
- खुद करें — पहले कॉपी पर हल कीजिए, फिर उत्तर चुनिए।
गुणनखंड और गुणज
किसी संख्या के गुणनखंड और गुणज क्या हैं, और साझा गुणनखंड तथा साझा गुणज से HCF और LCM कैसे बनते हैं।
गुणनखंड, गुणज और उनका साझा रूप
एक ही संख्या को काटने वाली संख्याएँ गुणनखंड हैं; उसमें से बनने वाली बड़ी संख्याएँ गुणज।
संख्या 12 को 1, 2, 3, 4, 6 और 12 पूरा काटते हैं — ये इसके गुणनखंड हैं। इसके विपरीत 12 के गुणज वे संख्याएँ हैं जो 12 में पूरी बँटें: 12, 24, 36, 48, … गुणनखंड हमेशा छोटे (या बराबर) होते हैं और गुणज हमेशा बड़े (या बराबर)।
| 12 के | 18 के | साझा | |
|---|---|---|---|
| गुणनखंड | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 1, 2, 3, 6, 9, 18 | 1, 2, 3, 6 |
| गुणज | 12, 24, 36, 48, 60, 72 | 18, 36, 54, 72, 90 | 36, 72, … |
- HCF = साझा गुणनखंडों में सबसे बड़ा (यहाँ 6)।
- LCM = साझा गुणजों में सबसे छोटा (यहाँ 36)।
- HCF संख्याओं से छोटा या बराबर होता है; LCM संख्याओं से बड़ा या बराबर।
- 112 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18 के: 1, 2, 3, 6, 9, 18।
- 2साझा: 1, 2, 3, 6 → सबसे बड़ा 6। HCF = 6।
- 312 के गुणज: 12, 24, 36, …; 18 के: 18, 36, … → पहला साझा 36। LCM = 36।
HCF निकालने के तरीके
दो या तीन संख्याओं का HCF अभाज्य गुणनखंडों से और लंबी भाग (यूक्लिड) विधि से निकालना।
अभाज्य गुणनखंड विधि
हर संख्या को अभाज्य संख्याओं में तोड़िए और साझा अभाज्यों को सबसे छोटी घात पर गुणा कीजिए।
यह भाग All Access में शामिल है।
पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।
लंबी भाग (यूक्लिड) विधि
जब संख्याएँ बड़ी हों और गुणनखंड निकालना कठिन हो, तब बार-बार भाग देकर HCF निकालना।
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LCM निकालने के तरीके
LCM अभाज्य गुणनखंडों से और साझा-भाग (सीढ़ी) विधि से निकालना।
अभाज्य गुणनखंड विधि
हर संख्या के सारे अभाज्य लेकर, हर एक की सबसे बड़ी घात से गुणा करना।
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साझा-भाग (सीढ़ी) विधि
एक अभाज्य से, जितनी संख्याएँ कटें उन्हें काटते हुए सीढ़ी बनाइए।
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संबंध और भिन्नें
दो संख्याओं के गुणनफल से HCF-LCM का संबंध, और भिन्नों के HCF-LCM।
दो संख्याओं का गुणनफल
और उसके उपयोग।
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भिन्नों के HCF और LCM
भिन्नों (और दशमलव) का HCF-LCM, अंशों और हरों पर अलग-अलग काम करके।
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उपयोग: HCF और LCM वाले सवाल
परीक्षा में आने वाले सभी प्रकार के शब्द-प्रश्न और हर एक में HCF या LCM चुनने का तरीका।
HCF या LCM — कैसे चुनें?
हर शब्द-प्रश्न में एक ही सवाल पूछिए: क्या मुझे बाँटना है या दोहराना?
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शेषफल वाले सवाल
शेषफल बराबर हो, अलग-अलग हो पर कमी बराबर हो, या न्यूनतम संख्या माँगी जाए।
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घंटियाँ, बत्तियाँ और चक्कर
जब कई चीज़ें अलग-अलग अंतराल पर दोहराती हों, तो फिर साथ होने का समय।
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बराबर टुकड़े: टाइलें, रस्सियाँ, समूह
जब कई लंबाइयों या संख्याओं को बराबर-बराबर बाँटना हो और बाँट सबसे बड़ा चाहिए।
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n-अंकीय संख्याएँ
दिए गए अंकों की सबसे बड़ी / छोटी संख्या जो कई भाजकों से पूरी कटे।
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अनुपात और HCF
जब दो संख्याओं का अनुपात और HCF दिया हो तो असली संख्याएँ, उनका योग या LCM।
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तरीका चुनना और जाल
सवाल की भाषा से HCF या LCM चुनना और सबसे आम गलतियाँ।
सबसे आम गलतियाँ
HCF-LCM में अंक अक्सर गलत विधि चुनने से कटते हैं।
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अभ्यास की सीढ़ी
हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।
स्तर 1 — आसान
एक नियम वाले प्रश्न।
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स्तर 2 — मध्यम
परीक्षा-स्तर के प्रश्न।
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स्तर 3 — कठिन
प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।
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दोहराव — सूत्र कार्ड
हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।
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