गुणनखंड, अंत के शून्य और आवर्ती दशमलव

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

4 भाग15 हल किए उदाहरण36 अभ्यास प्रश्न

जो संख्या किसी संख्या को पूरा-पूरा बाँट दे, वह उसका गुणनखंड (factor) है: 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 12 हैं। और अभाज्य संख्या वह है जिसके केवल दो गुणनखंड हों — 1 और वह स्वयं: 2, 3, 5, 7, 11, 13 …। एक पक्की बात: हर संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जा सकती है (क्रम बदलने को छोड़कर)। यही संख्या की “उँगली की छाप” है, और इस पूरे अध्याय की चाबी भी।

एक बार किसी संख्या को $N = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ जैसे रूप में लिख लें, तो परीक्षा के तीन बड़े प्रश्न-प्रकार इसी रूप से सीधे पढ़ लिए जाते हैं:

भाग	प्रश्न कैसा	किस चीज़ से हल
1. गुणनखंड	कितने गुणनखंड? उनका योग? कितनी जोड़ियाँ? पूर्ण वर्ग?	घातों को (घात + 1) से गुणा
2. अंत के शून्य	$n!$ या गुणनफल के अंत में कितने शून्य?	2 और 5 की जोड़ियाँ गिनना
3. आवर्ती दशमलव	भिन्न → दशमलव → भिन्न, जोड़-घटाव, तुलना, $n$ -वाँ अंक	हर में 2, 5 और बाकी अभाज्य; 9 और 0 वाले हर

कैसे पढ़ेंहर विधि के बाद “हल किए उदाहरण” हैं और फिर स्वयं करने के प्रश्न — हल तभी खोलिए जब खुद कोशिश कर लें। विभाज्यता के नियम (2, 3, 5, 7, 11) “शेषफल और विभाज्यता” अध्याय में हैं और भिन्नों की नींव “साधारण और दशमलव भिन्न” अध्याय में।

भाग 1 — गुणनखंड

गिनती · योग · जोड़ियाँ · वर्ग

अभाज्य गुणनखंडन से गुणनखंडों की गिनती, योग, गुणनफल, सम-विषम और जोड़ियाँ।

पाँच विधियाँ हैं, और हर अगली पिछली पर टिकी है। पहले संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना सीखिए; बाकी सब उसी का फल है।

अभाज्य गुणनखंडन और फ़ैक्टर-ट्री

N = p^{a} q^{b} r^{c} \dots

संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में तोड़ना और अभाज्य गुणनखंडों की गिनती।

विचार

एक संख्या जैसे 924 लीजिए। यह सम है, इसलिए 2 से कटती है: $924 = 2 \times 462$ । 462 भी सम है: $462 = 2 \times 231$ । 231 का अंक-योग 6 है, इसलिए 3 से कटती है: $231 = 3 \times 77$ । और $77 = 7 \times 11$ । अब हर टुकड़ा अभाज्य है, रुक जाइए। $924 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 \times 11 = 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11$ । यही अभाज्य गुणनखंडन है। हर बार सबसे छोटे अभाज्य से भाग देना सबसे सुरक्षित है, क्योंकि इस तरह कोई अभाज्य छूटता नहीं।

◭ चित्र

924 का फ़ैक्टर-ट्री: हर बार सबसे छोटा अभाज्य (रंगीन गोला) बाहर गिरता है, बाकी भाग नीचे जाता है; अंत में सब गोले गुणा करने पर 924 आता है

∑ सूत्र

N = p_{1}^{a_{1}} \times p_{2}^{a_{2}} \times p_{3}^{a_{3}} \times \dots

मानक रूप (हर

p

अभाज्य, हर घात

\geq 1

)

$N$: दी हुई संख्या
$p_{1}, p_{2}, \dots$: अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ, छोटी से बड़ी
$a_{1}, a_{2}, \dots$: हर अभाज्य की घात (वह कितनी बार आया)

कौन-सा अभाज्य आज़माएँ	कब कटेगी	कारण
2	अंतिम अंक सम	10 का गुणज 2 से कटता है
3	अंकों का योग 3 से कटे	$10 \equiv 1$ (mod 3)
5	अंतिम अंक 0 या 5	10 का गुणज 5 से कटता है
7	अंतिम अंक का दुगुना बाकी में से घटाएँ; 7 से कटे तो कटेगी	$10 a + b \to a - 2 b$
11	एक-एक छोड़कर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज	$10 \equiv - 1$ (mod 11)

यहाँ: $a$ = अंतिम अंक के बाईं ओर की पूरी संख्या, $b$ = अंतिम अंक (7 वाली पंक्ति में); (mod $k$ ) का अर्थ “ $k$ से भाग देने पर शेषफल”।

याद रखेंकहाँ रुकें? किसी संख्या

N

को तोड़ने के लिए केवल उन अभाज्यों तक आज़माइए जिनका वर्ग

N

से बड़ा न हो। अगर

N

तक कोई अभाज्य नहीं कटा, तो

N

ख़ुद अभाज्य है। (कारण: दो गुणनखंडों में से एक हमेशा

N

से छोटा या बराबर होता है।)

अभाज्य गुणनखंडों की गिनती

“कितने अभाज्य गुणनखंड?” के दो अर्थ हैं। $924 = 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11$ में अलग-अलग अभाज्य 4 हैं (2, 3, 7, 11), पर अगर हर अभाज्य को उतनी बार गिनें जितनी बार वह आया, तो $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ अभाज्य गुणनखंड हैं। परीक्षा में दूसरा अर्थ आम है — घातों का योग। जब गुणनफल में कोई आधार अभाज्य न हो (जैसे $1 5^{8}$ ), पहले उसे तोड़िए: $1 5^{8} = 3^{8} \times 5^{8}$ ।

∑ सूत्र

Ω (N) = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots

दोहराव सहित अभाज्य गुणनखंड: हर घात जोड़ दीजिए; आधार अभाज्य होने चाहिए

$Ω (N)$: $N$ के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (दोहराव सहित)
$a_{1}, a_{2}, \dots$: मानक रूप में अभाज्यों की घातें

कदम

संख्या को सबसे छोटे अभाज्य (2, फिर 3, 5, 7 …) से तब तक भाग दीजिए जब तक वह कटे; हर भाग का भागफल लिखते जाइए।
जब भागफल 1 हो जाए (या अभाज्य बच जाए), रुकिए।
एक ही अभाज्य के बार-बार आने को घात में लिखिए।
गुणा करके जाँचिए कि मूल संख्या वापस आती है।

उदाहरण 1 · आसान

756 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।

हल, कदम-दर-कदम

1756 सम है, इसलिए 2 से भाग: $756 \div 2 = 378$ ; फिर $378 \div 2 = 189$ । 189 विषम है, इसलिए 2 अब नहीं चलेगा।
2189 का अंक-योग $1 + 8 + 9 = 18$ , यानी 3 से कटेगी: $189 \div 3 = 63$ , $63 \div 3 = 21$ , $21 \div 3 = 7$ । 7 अभाज्य है, रुकिए।
3भाजक 2, 2, 3, 3, 3 और अंत में 7 हैं, इसलिए $756 = 2^{2} \times 3^{3} \times 7$ ।
4जाँच: $4 \times 27 \times 7 = 756$ ✓

उत्तर $2^{2} \times 3^{3} \times 7$

हर चरण पर जाँचिए कि भागफल अभी भी किसी छोटे अभाज्य से कटता है या नहीं; इससे कोई गुणनखंड छूटता नहीं।

उदाहरण 2 · मध्यम

गुणनफल

4^{6} \times 9^{3} \times 3 5^{2} \times 11

में कुल कितने अभाज्य गुणनखंड हैं (हर अभाज्य को उतनी बार गिनकर जितनी बार वह आता है), और अलग-अलग अभाज्य कितने हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1आधार 4, 9 और 35 अभाज्य नहीं हैं, इसलिए पहले उन्हें तोड़ते हैं: $4^{6} = (2^{2})^{6} = 2^{12}$ ; $9^{3} = (3^{2})^{3} = 3^{6}$ ; $3 5^{2} = (5 \times 7)^{2} = 5^{2} \times 7^{2}$ ।
2पूरा गुणनफल $2^{12} \times 3^{6} \times 5^{2} \times 7^{2} \times 11$ बना।
3कुल अभाज्य गुणनखंड = घातों का योग $= 12 + 6 + 2 + 2 + 1 = 23$ ।
4अलग-अलग अभाज्य: 2, 3, 5, 7, 11 — यानी 5।

उत्तर 23 (कुल), 5 (अलग-अलग)

घात के नियम:

(a^{m})^{n} = a^{mn}

और

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

।

उदाहरण 3 · कठिन

क्या 1517 अभाज्य है? नहीं तो इसके अभाज्य गुणनखंड ढूँढिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $3 8^{2} = 1444 < 1517 < 3 9^{2} = 1521$ , इसलिए $1517$ लगभग 38.9 है। हमें केवल 37 तक के अभाज्य आज़माने हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37।
2अंतिम अंक 7 है, इसलिए 2 और 5 नहीं; अंक-योग $1 + 5 + 1 + 7 = 14$ , इसलिए 3 नहीं। $1517 \div 7$ : $7 \times 216 = 1512$ , शेष 5 — नहीं। 11: $(7 + 5) - (1 + 1) = 10$ — नहीं।
313: $13 \times 116 = 1508$ , शेष 9 — नहीं। 17: $17 \times 89 = 1513$ , शेष 4 — नहीं। 19: $19 \times 79 = 1501$ , शेष 16 — नहीं। 23: $23 \times 65 = 1495$ , शेष 22 — नहीं। 29: $29 \times 52 = 1508$ , शेष 9 — नहीं। 31: $31 \times 48 = 1488$ , शेष 29 — नहीं।
437: $37 \times 41 = 1517$ — कट गई! 41 अभाज्य है।

उत्तर नहीं, $1517 = 37 \times 41$

यही तरीका अभाज्य की जाँच का भी है:

N

तक कोई अभाज्य न कटे, तो

N

अभाज्य है।

आसानपहले खुद करके देखें

1092 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

2^{5} \times 3^{4} \times 7

में कुल कितने अभाज्य गुणनखंड हैं (दोहराव सहित)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3003 के सभी अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों का योग कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

6^{5} \times 1 0^{3} \times 1 5^{2}

में कुल कितने अभाज्य गुणनखंड हैं (दोहराव सहित)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

2^{x} \times 3^{2} \times 5 = 1440

हो, तो

x

का मान क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

8051 का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 2491 है। उनका योग क्या है?

गुणनखंडों की संख्या

(a + 1) (b + 1) (c + 1) \dots

घातों में 1 जोड़कर गुणा करने से सारे गुणनखंडों की गिनती।

विचार

$72 = 2^{3} \times 3^{2}$ को देखिए। 72 का कोई भी गुणनखंड $2^{i} \times 3^{j}$ के रूप का होगा, जहाँ 2 की घात $i$ केवल $0, 1, 2, 3$ में से कोई हो सकती है (4 चुनाव) और 3 की घात $j$ केवल $0, 1, 2$ में से कोई (3 चुनाव)। हर जोड़ी $(i, j)$ एक अलग गुणनखंड देती है, इसलिए कुल $4 \times 3 = 12$ गुणनखंड हैं। नीचे का चित्र यही सारणी है: पंक्ति = 2 की घात, स्तंभ = 3 की घात, और हर खाना एक गुणनखंड।

◭ चित्र

72 के 12 गुणनखंड: पंक्ति में 2 की घात (नीला), स्तंभ में 3 की घात (हरा); कुल

4 \times 3 = 12

∑ सूत्र

d (N) = (a_{1} + 1) (a_{2} + 1) (a_{3} + 1) \dots

N

के कुल गुणनखंड (1 और

N

भी गिने हुए)

$d (N)$: $N$ के गुणनखंडों की संख्या
$a_{1}, a_{2}, \dots$: $N = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \dots$ में अभाज्यों की घातें

“+1” क्यों? क्योंकि घात शून्य भी हो सकती है — यानी वह अभाज्य उस गुणनखंड में आए ही नहीं। $2^{3}$ के लिए चुनाव $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}$ हैं: घात से एक ज़्यादा। इसी से 1 (सब घातें 0) और $N$ (सब घातें पूरी) भी गिनती में आ जाते हैं।

$N$ का रूप	गुणनखंडों की संख्या	उदाहरण
$p$ (अभाज्य)	2	13: 1, 13
$p^{2}$	3	49: 1, 7, 49
$p^{k}$	$k + 1$	$2^{6} = 64$ : 7
$pq$	4	15: 1, 3, 5, 15
$p^{2} q$	6	12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

यहाँ $p, q$ अलग-अलग अभाज्य हैं और $k$ कोई घात। इससे दो उपयोगी बातें निकलती हैं: ठीक 3 गुणनखंड वाली संख्या हमेशा किसी अभाज्य का वर्ग होती है; ठीक 4 गुणनखंड वाली संख्या या तो $p^{3}$ होती है या $pq$ ।

जालजाल: “कितने गुणनखंड” में 1 और

N

दोनों शामिल हैं। “1 और

N

को छोड़कर” हो तो

d - 2

; “

N

से छोटे” हो तो

d - 1

। प्रश्न की भाषा ध्यान से पढ़िए।

उलटा प्रश्न: संख्या ढूँढना

कभी गुणनखंडों की संख्या दी होती है और संख्या या घात पूछी जाती है। तब $d$ को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में तोड़िए: हर गुणनखंड $=$ (घात $+ 1$ )। सबसे छोटी संख्या चाहिए तो सबसे बड़ी घात सबसे छोटे अभाज्य (2) को दीजिए, फिर 3 को, फिर 5 को। तोड़ने के सभी तरीके आज़माइए।

$d = 12$ को तोड़ें	घातें	संख्या
12	11	$2^{11} = 2048$
$6 \times 2$	5, 1	$2^{5} \times 3 = 96$
$4 \times 3$	3, 2	$2^{3} \times 3^{2} = 72$
$3 \times 2 \times 2$	2, 1, 1	$2^{2} \times 3 \times 5 = 60$ ← सबसे छोटी

कदम

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए: $p^{a} q^{b} r^{c}$ ।
हर घात में 1 जोड़िए: $(a + 1), (b + 1), (c + 1)$ ।
इन सबको गुणा कीजिए।
प्रश्न की शर्त देखिए (1 और $N$ गिनें या नहीं) और उसी के अनुसार घटाइए।

उदाहरण 4 · आसान

504 के कुल कितने गुणनखंड हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1504 को तोड़िए: $504 \div 2 = 252$ , $\div 2 = 126$ , $\div 2 = 63$ ; $63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7$ । इसलिए $504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7$ ।
2घातें 3, 2, 1 हैं; हर में 1 जोड़ने पर $4, 3, 2$ ।
3कुल गुणनखंड $= 4 \times 3 \times 2 = 24$ ।

उत्तर 24

गुणनखंड गिनते समय 1 और 504 ख़ुद भी इसी गिनती में हैं।

उदाहरण 5 · मध्यम

N = 2^{a} \times 3^{2} \times 7

के ठीक 36 गुणनखंड हैं।

a

और

N

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1गुणनखंडों की संख्या $= (a + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 6 (a + 1)$ ।
2 $6 (a + 1) = 36 \Rightarrow a + 1 = 6 \Rightarrow a = 5$ ।
3 $N = 2^{5} \times 3^{2} \times 7 = 32 \times 9 \times 7 = 2016$ । जाँच: $6 \times 3 \times 2 = 36$ ✓

उत्तर $a = 5, N = 2016$

यही सूत्र उलटा चलाकर अज्ञात घात निकाल लेते हैं।

उदाहरण 6 · कठिन

ठीक 18 गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $18$ को गुणनखंडों में तोड़िए: $18$ ; $9 \times 2$ ; $6 \times 3$ ; $3 \times 3 \times 2$ । हर गुणनखंड घात $+ 1$ है।
2घातें बनीं: ${17}$ , ${8, 1}$ , ${5, 2}$ , ${2, 2, 1}$ । सबसे बड़ी घात सबसे छोटे अभाज्य को देने पर: $2^{17} = 131072$ ; $2^{8} \times 3 = 768$ ; $2^{5} \times 3^{2} = 288$ ; $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$ ।
3सबसे छोटी 180 है; जाँच: $(2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 18$ ✓

उत्तर 180

ज़्यादा अभाज्य लेने पर घातें छोटी होती हैं और संख्या अक्सर छोटी निकलती है — पर सब तरीक़े जाँचिए।

आसानपहले खुद करके देखें

2^{4} \times 3^{2} \times 5

के कितने गुणनखंड हैं?

आसानपहले खुद करके देखें

सुनील की दुकान की रसीद संख्या 1001 है। 1001 के कितने गुणनखंड हैं?

आसानपहले खुद करके देखें

1 0^{4}

के कितने गुणनखंड हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

6^{3} \times 1 0^{2}

के कुल कितने गुणनखंड हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3^{5} \times 7^{2}

के गुणनखंडों में से 1 और संख्या ख़ुद को छोड़कर कितने बचते हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

ठीक 10 गुणनखंडों वाली सबसे छोटी संख्या क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

3^{a} \times 5^{b}

के ठीक 15 गुणनखंड हैं और

a > b \geq 1

है। संख्या ज्ञात कीजिए।

गुणनखंडों का योग और गुणनफल

\prod \frac{p ^{a + 1} - 1}{p - 1}

N^{d /2}

सारे गुणनखंडों का योग, उनका गुणनफल और उनके व्युत्क्रमों का योग।

विचार: योग

पिछली विधि की सारणी में हर खाने में एक गुणनखंड था। अब उन सबको जोड़ना है। $100 = 2^{2} \times 5^{2}$ लीजिए: खाने $2^{i} \times 5^{j}$ हैं। पूरी सारणी का योग $\sum 2^{i} 5^{j}$ वही है जो $(1 + 2 + 4) \times (1 + 5 + 25)$ को बिना खोले गुणा करने से बनता है — क्योंकि हर $2^{i}$ हर $5^{j}$ के साथ ठीक एक बार जोड़ी बनाता है। तो $σ (100) = 7 \times 31 = 217$ ।

◭ चित्र

100 के 9 गुणनखंड और उनका योग: पंक्तियों वाला योग

7

और स्तंभों वाला योग

31

का गुणनफल

= 217

∑ सूत्र

σ (N) = \prod \frac{p ^{a + 1} - 1}{p - 1}

सभी गुणनखंडों का योग: हर अभाज्य के लिए एक भिन्न, सबका गुणनफल (हर भिन्न

1 + p + p^{2} + \dots + p^{a}

के बराबर है)

$σ (N)$: $N$ के सभी गुणनखंडों का योग
$p, a$: $N$ का कोई अभाज्य और उसकी घात
$\prod$: सब अभाज्यों के लिए गुणा

ट्रिकसूत्र रटने की जगह कोष्ठक सीधे लिखिए:

2^{4}

के लिए

(1 + 2 + 4 + 8 + 16) = 31

;

3^{2}

के लिए

(1 + 3 + 9) = 13

। छोटी घातों में यह सूत्र से तेज़ है, और भूल भी नहीं होती।

गुणनफल और व्युत्क्रमों का योग

गुणनखंडों को जोड़ियों में बाँधिए: $f$ और $\frac{N}{f}$ का गुणनफल हमेशा $N$ है। $d$ गुणनखंड हों तो $\frac{d}{2}$ जोड़ियाँ बनती हैं और हर जोड़ी $N$ देती है, इसलिए सब गुणनखंडों का गुणनफल $N^{d /2}$ है। (जब $N$ पूर्ण वर्ग है, बीच का गुणनखंड $N$ अकेला रह जाता है, फिर भी वही सूत्र सही रहता है।)

∑ सूत्र

\prod f = N^{d /2}, \sum \frac{1}{f} = \frac{σ ( N )}{N}

गुणनफल और व्युत्क्रमों का योग

$\prod f$: सब गुणनखंडों का गुणनफल
$d$: गुणनखंडों की संख्या
$σ (N)$: गुणनखंडों का योग

व्युत्क्रमों का योग इसलिए $\frac{σ ( N )}{N}$ है कि $\frac{1}{f} = \frac{N / f}{N}$ और $N / f$ भी स्वयं एक गुणनखंड है; इसलिए $\sum \frac{1}{f} = \frac{\sum ( N / f )}{N} = \frac{σ ( N )}{N}$ । उचित गुणनखंडों (स्वयं $N$ को छोड़कर) का योग $σ (N) - N$ है। अगर यह $N$ के बराबर निकले तो संख्या पूर्ण संख्या है (6, 28, 496)।

कदम

अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
हर अभाज्य के लिए कोष्ठक $(1 + p + \dots + p^{a})$ का मान निकालिए।
सब कोष्ठक गुणा करने पर योग $σ (N)$ ; गुणनफल चाहिए तो $d$ निकालकर $N^{d /2}$ ।

उदाहरण 7 · आसान

1400 के सभी गुणनखंडों का योग ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $1400 = 14 \times 100 = 2 \times 7 \times 2^{2} \times 5^{2} = 2^{3} \times 5^{2} \times 7$ ।
2कोष्ठक: $2^{3}$ के लिए $1 + 2 + 4 + 8 = 15$ ; $5^{2}$ के लिए $1 + 5 + 25 = 31$ ; $7$ के लिए $1 + 7 = 8$ ।
3योग $= 15 \times 31 \times 8 = 3, 720$ ।

उत्तर 3,720

योग हमेशा गुणनखंडों की संख्या से बहुत बड़ा होता है —

d = 4 \times 3 \times 2 = 24

गुणनखंड, पर उनका योग 3,720।

उदाहरण 8 · मध्यम

36 के सभी गुणनखंडों का गुणनफल तथा 30 के सभी गुणनखंडों का गुणनफल निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ , इसलिए $d = 3 \times 3 = 9$ । गुणनफल $= 3 6^{9/2} = (6^{2})^{9/2} = 6^{9}$ ।
2 $6^{9} = 1, 00, 77, 696$ । (जाँच: गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 में चार जोड़ियाँ 36 देती हैं और बीच का 6 बचता है: $3 6^{4} \times 6 = 6^{8} \times 6 = 6^{9}$ ✓)
3 $30 = 2 \times 3 \times 5$ , इसलिए $d = 2 \times 2 \times 2 = 8$ और गुणनफल $= 3 0^{4} = 8, 10, 000$ ।

उत्तर 1,00,77,696 और 8,10,000

पूर्ण वर्ग में बीच का गुणनखंड

N

अकेला होता है, पर सूत्र

N^{d /2}

तब भी ठीक बैठता है।

उदाहरण 9 · कठिन

(क) 496 उचित गुणनखंडों के योग से तुलना करके बताइए कि 496 पूर्ण संख्या है या नहीं। (ख) 60 के सभी गुणनखंडों के व्युत्क्रमों का योग निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1(क) $496 = 16 \times 31 = 2^{4} \times 31$ । $σ = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) (1 + 31) = 31 \times 32 = 992$ ।
2उचित गुणनखंडों का योग $= 992 - 496 = 496$ , जो संख्या के बराबर है — इसलिए 496 पूर्ण संख्या है।
3(ख) $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ ; $σ (60) = 7 \times 4 \times 6 = 168$ । व्युत्क्रमों का योग $= \frac{σ}{N} = \frac{168}{60} = \frac{14}{5}$ ।

उत्तर (क) हाँ; (ख) $\frac{14}{5}$

6 के उचित गुणनखंड 1, 2, 3 का योग 6 है; 28 के 1, 2, 4, 7, 14 का योग 28 — ये भी पूर्ण संख्याएँ हैं।

आसानपहले खुद करके देखें

96 के सभी गुणनखंडों का योग क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

7^{3} \times 11

के सभी गुणनखंडों का योग क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

220 के उचित गुणनखंडों (220 को छोड़कर) का योग कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

24 के सभी गुणनखंडों का गुणनफल क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

12 के सभी गुणनखंडों के व्युत्क्रमों का योग क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

5^{a}

के सभी गुणनखंडों का योग 781 है।

a

का मान क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक संख्या

N

के सभी गुणनखंडों का गुणनफल

N^{10}

है।

N

के कितने गुणनखंड हैं?

सम, विषम और ख़ास गुणनखंड

2 की घात: 1 से

a

तक या केवल 0

सम और विषम गुणनखंडों की गिनती व योग, किसी संख्या के गुणज वाले गुणनखंड, वर्ग और घन गुणनखंड।

विचार

$N = 2^{a} \times 3^{b} \times 7^{c}$ का हर गुणनखंड $2^{i} 3^{j} 7^{k}$ है। गुणनखंड विषम तब है जब उसमें 2 आए ही नहीं, यानी $i = 0$ । गुणनखंड सम तब है जब उसमें कम से कम एक 2 हो, यानी $i \in {1, 2, \dots, a}$ । गिनती का नियम पहले जैसा ही है, बस 2 के चुनाव बदल जाते हैं:

कौन-से गुणनखंड	गिनती	योग
सभी	$(a + 1) (b + 1) (c + 1)$	$(1 + 2 + \dots + 2^{a}) (1 + 3 + \dots) (1 + 7 + \dots)$
विषम ( $i = 0$ )	$(b + 1) (c + 1)$	2 का कोष्ठक हटा दीजिए
सम ( $i \geq 1$ )	$a (b + 1) (c + 1)$	$(2 + 4 + \dots + 2^{a}) (1 + 3 + \dots) (1 + 7 + \dots)$
$m$ के गुणज ( $m ∣ N$ )	$d (\frac{N}{m})$	$m \times σ (\frac{N}{m})$
पूर्ण वर्ग	$(⌊ \frac{a}{2} ⌋ + 1) (⌊ \frac{b}{2} ⌋ + 1) \dots$	घात सम ही रखिए
पूर्ण घन	$(⌊ \frac{a}{3} ⌋ + 1) (⌊ \frac{b}{3} ⌋ + 1) \dots$	घात 3 का गुणज ही रखिए

यहाँ: $a, b, c$ = अभाज्यों 2, 3, 7 की घातें; $d (\cdot)$ = गुणनखंडों की संख्या; $σ (\cdot)$ = उनका योग; $⌊ x ⌋$ = $x$ का पूर्णांक भाग (दशमलव हटाकर)।

“ $m$ के गुणज” वाली पंक्ति सबसे काम की है। $N$ का जो गुणनखंड $m$ का गुणज हो, उसे $m \times (कुछ)$ लिख सकते हैं, और वह “कुछ” $\frac{N}{m}$ का गुणनखंड होना चाहिए। इसलिए $N$ के जितने गुणनखंड $m$ के गुणज हैं, उतने ही गुणनखंड $\frac{N}{m}$ के हैं। $m = 2$ लेने पर सम गुणनखंडों की गिनती $d (N /2)$ मिलती है, और योग $2 σ (N /2)$ — दोनों ऊपर वाली पंक्ति से मेल खाते हैं। $m = 10$ लेने पर “शून्य पर ख़त्म होने वाले गुणनखंड” मिल जाते हैं।

जाँचसम+विषम = कुल: गिनती और योग दोनों में। एक को निकालकर दूसरा घटाने से भी मिल जाता है, और यह आपका जाँचने का तरीक़ा भी है।

कदम

अभाज्य गुणनखंडन लिखिए।
तय कीजिए कि प्रश्न किस अभाज्य की किन घातों को अनुमति देता है (सम: 2 की घात $\geq 1$ ; विषम: 2 की घात 0; $m$ का गुणज: $m$ की घातें पहले से घटाइए; वर्ग: सम घातें)।
हर अभाज्य के लिए चुनावों की संख्या (गिनती के लिए) या उन चुनावों का कोष्ठक-योग (योग के लिए) लिखिए।
सबको गुणा कीजिए।

उदाहरण 10 · आसान

N = 2352

के विषम और सम गुणनखंड कितने-कितने हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1 $2352 = 16 \times 147 = 2^{4} \times 147$ और $147 = 3 \times 49$ , इसलिए $2352 = 2^{4} \times 3 \times 7^{2}$ ।
2विषम गुणनखंडों में 2 आता ही नहीं: बाकी अभाज्यों के चुनाव $(1 + 1) (2 + 1) = 2 \times 3 = 6$ ।
3सम गुणनखंडों में 2 की घात $1, 2, 3, 4$ में से कोई — 4 चुनाव: $4 \times 2 \times 3 = 24$ ।
4जाँच: कुल $= 5 \times 2 \times 3 = 30 = 6 + 24$ ✓

उत्तर 6 और 24

2 के चुनाव ही गिनती तय करते हैं: विषम में केवल 1 चुनाव (घात 0), सम में

a

चुनाव।

उदाहरण 11 · मध्यम

1960 के विषम गुणनखंडों का योग और सम गुणनखंडों का योग ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $1960 = 8 \times 245 = 2^{3} \times 5 \times 7^{2}$ ।
2विषम: 2 का कोष्ठक छोड़ दीजिए: $(1 + 5) (1 + 7 + 49) = 6 \times 57 = 342$ ।
3सम: 2 का कोष्ठक $1$ के बिना: $(2 + 4 + 8) = 14$ , इसलिए $14 \times 6 \times 57 = 4788$ ।
4जाँच: कुल योग $σ = 15 \times 6 \times 57 = 5130$ और $342 + 4788 = 5130$ ✓

उत्तर 342 और 4,788

सम गुणनखंड सिर्फ़ दो गुना हो जाने से नहीं बनते — कोष्ठक में 1 की जगह 2 से शुरू करने से बनते हैं।

उदाहरण 12 · कठिन

5400 के कितने गुणनखंड (क) 15 के गुणज हैं, (ख) पूर्ण वर्ग हैं, (ग) पूर्ण घन हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1 $5400 = 2^{3} \times 3^{3} \times 5^{2}$ (क्योंकि $5400 = 54 \times 100$ और $54 = 2 \times 27$ )।
2(क) 15 के गुणज वाले गुणनखंड उतने ही हैं जितने $\frac{5400}{15} = 360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5$ के गुणनखंड: $4 \times 3 \times 2 = 24$ ।
3(ख) पूर्ण वर्ग में हर घात सम होनी चाहिए: 2 की घात ${0, 2}$ (2 चुनाव), 3 की ${0, 2}$ (2 चुनाव), 5 की ${0, 2}$ (2 चुनाव): $2 \times 2 \times 2 = 8$ ।
4(ग) पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज: 2 की ${0, 3}$ (2), 3 की ${0, 3}$ (2), 5 की केवल ${0}$ (1): $2 \times 2 \times 1 = 4$ ।

उत्तर 24, 8, 4

तीनों उप-प्रश्नों में एक ही विचार है: किस अभाज्य की कौन-सी घातें अनुमत हैं, उन्हें गिनिए और गुणा कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

2^{5} \times 3^{2} \times 5^{2}

के कितने गुणनखंड विषम हैं?

आसानपहले खुद करके देखें

2^{6} \times 3 \times 5^{2}

के कितने गुणनखंड सम हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2^{4} \times 3^{2} \times 7

के सभी विषम गुणनखंडों का योग क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

4500 के कितने गुणनखंड 0 पर ख़त्म होते हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2^{6} \times 3^{4} \times 5^{3} \times 7

के कितने गुणनखंड पूर्ण वर्ग हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7

के कितने गुणनखंड 6 के गुणज हैं पर 5 से नहीं कटते?

कठिनपहले खुद करके देखें

2^{3} \times 5^{2} \times 7

के कितने गुणनखंडों का अंतिम अंक 5 है?

पूर्ण वर्ग, जोड़ियाँ और गुणनफल के रूप

d

विषम

⟺

पूर्ण वर्ग

गुणनखंडों की जोड़ियाँ, पूर्ण वर्ग की पहचान, “दो गुणनखंडों के गुणनफल” के तरीके और पूर्ण वर्ग/घन बनाना।

विचार

$N$ का हर गुणनखंड $f$ अपना एक साथी $\frac{N}{f}$ रखता है, और दोनों का गुणनफल $N$ है। 30 में: $1 \times 30$ , $2 \times 15$ , $3 \times 10$ , $5 \times 6$ — 8 गुणनखंड, 4 जोड़ियाँ। लेकिन 36 में: $1 \times 36$ , $2 \times 18$ , $3 \times 12$ , $4 \times 9$ और $6 \times 6$ । यहाँ 6 का साथी वह ख़ुद है, इसलिए वह अकेला गिना जाता है और कुल गुणनखंड $4 \times 2 + 1 = 9$ — विषम।

◭ चित्र

30: चारों जोड़ियों में दोनों साथी अलग हैं, इसलिए गुणनखंड सम (8)

◭ चित्र

36: जोड़ी

6 \times 6

का साथी वह ख़ुद है (गुलाबी), इसलिए गुणनखंड विषम (9)

∑ सूत्र

N = k^{2} ⟺ d (N) विषम

N

पूर्ण वर्ग है ⟺ गुणनखंडों की संख्या विषम ⟺

N

की हर घात सम

$d (N)$: $N$ के गुणनखंडों की संख्या

कारण: $d = (a + 1) (b + 1) \dots$ विषम तभी होगा जब हर कोष्ठक विषम हो, यानी हर घात सम — और सब घातें सम हों तो संख्या वर्ग होती ही है। (लॉकर वाली पहेली: 100 लॉकर बंद हैं; विद्यार्थी $k$ हर $k$ -वाँ लॉकर पलटता है, $k = 1$ से $100$ । अंत में लॉकर $N$ उतनी बार पलटा गया जितने उसके गुणनखंड हैं; खुला वही रहेगा जिसके गुणनखंड विषम हों — यानी 1, 4, 9, …, 100।)

जोड़ियों से जुड़े प्रश्न

प्रश्न	उत्तर	स्थिति
$N = f \times g$ के तरीके ( $f \leq g$ )	$\frac{d}{2}$	$N$ पूर्ण वर्ग नहीं
	$\frac{d + 1}{2}$	$N$ पूर्ण वर्ग ( $f = g$ भी गिना)
दो अलग गुणनखंडों के तरीके	$\frac{d - 1}{2}$	$N$ पूर्ण वर्ग
क्रम का ध्यान रखकर ( $f$ पहला, $g$ दूसरा)	$d$	हमेशा
सह-अभाज्य जोड़ियाँ ( $g cd (f, g) = 1$ , $f \leq g$ )	$2^{k - 1}$	$k$ अलग अभाज्य, $N > 1$

यहाँ: $d$ = $N$ के गुणनखंडों की संख्या; $k$ = $N$ में अलग-अलग अभाज्यों की संख्या। सह-अभाज्य जोड़ी में हर अभाज्य की पूरी घात या तो $f$ में जाती है या $g$ में (बाँटी नहीं जा सकती), इसलिए $2^{k}$ क्रमित तरीके और $2^{k - 1}$ क्रमरहित।

पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन बनाना

जिस अभाज्य की घात सम नहीं है, उसे एक बार और गुणा कीजिए (या एक बार भाग दीजिए); घन के लिए घात को 3 का गुणज बनाइए। सबसे छोटा गुणक/भाजक उन्हीं अभाज्यों का गुणनफल होता है जिनकी घात “अधूरी” है।

घात $e$	वर्ग बनाने को गुणा	वर्ग बनाने को भाग	घन बनाने को गुणा	घन बनाने को भाग
1	p	p	$p^{2}$	p
2	—	—	p	$p^{2}$
3	p	p	—	—
4	—	—	$p^{2}$	p
5	p	p	p	$p^{2}$

यहाँ: $e$ = उस अभाज्य $p$ की घात संख्या में; “—” का अर्थ कुछ नहीं करना।

कदम

अभाज्य गुणनखंडन और $d$ निकालिए।
पूर्ण वर्ग की जाँच: सब घातें सम (या $d$ विषम)।
जोड़ियों वाले प्रश्न में सारणी की सही पंक्ति चुनिए (वर्ग है या नहीं, क्रम गिनना है या नहीं)।
वर्ग/घन बनाने के लिए हर अभाज्य की घात देखकर गुणक या भाजक बनाइए।

उदाहरण 13 · आसान

7056 पूर्ण वर्ग है या नहीं? इसे दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है (क्रम नहीं गिनना, दोनों बराबर भी चलेंगे)?

हल, कदम-दर-कदम

1 $7056 = 16 \times 441 = 2^{4} \times 2 1^{2} = 2^{4} \times 3^{2} \times 7^{2}$ ।
2सब घातें (4, 2, 2) सम हैं, इसलिए यह पूर्ण वर्ग है: $7056 = 8 4^{2}$ ।
3गुणनखंडों की संख्या $d = (4 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 45$ (विषम, जैसा होना चाहिए)।
4पूर्ण वर्ग है, इसलिए तरीके $\frac{d + 1}{2} = \frac{46}{2} = 23$ (जिनमें $84 \times 84$ भी है)।

उत्तर पूर्ण वर्ग; 23 तरीके

जाँच के दो तरीक़े: सब घातें सम, या

d

विषम। दोनों एक ही बात कहते हैं।

उदाहरण 14 · मध्यम

1350 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि (क) पूर्ण वर्ग मिले, (ख) पूर्ण घन मिले?

हल, कदम-दर-कदम

1 $1350 = 135 \times 10 = 2 \times 3^{3} \times 5^{2}$ ।
2(क) वर्ग के लिए सब घातें सम चाहिए। 2 की घात 1 और 3 की घात 3 विषम हैं; 5 की घात 2 ठीक है। गुणक $= 2 \times 3 = 6$ । परिणाम $1350 \times 6 = 8100 = 9 0^{2}$ ✓
3(ख) घन के लिए घात 3 का गुणज चाहिए। 2 की घात 1 को 3 बनाने को $2^{2}$ चाहिए; 3 की घात 3 पहले से ठीक है; 5 की घात 2 को 3 बनाने को $5$ चाहिए। गुणक $= 2^{2} \times 5 = 20$ । परिणाम $1350 \times 20 = 27000 = 3 0^{3}$ ✓

उत्तर 6 और 20

“कम से कम गुणक” में केवल उन अभाज्यों का गुणा होता है जिनकी घात अधूरी है — बाकी को छुआ नहीं जाता।

उदाहरण 15 · कठिन

N = 2^{3} \times 3 \times 5^{2} \times 7

को दो सह-अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है (क्रम नहीं गिनना)? और क्रम गिनने पर?

हल, कदम-दर-कदम

1चार अलग अभाज्य हैं: 2, 3, 5, 7, इसलिए $k = 4$ ।
2सह-अभाज्य होने के लिए हर अभाज्य की पूरी घात एक ही गुणनखंड में जाएगी: $2^{3}$ पहले में या दूसरे में, $3$ पहले या दूसरे में, … — हर एक के 2 चुनाव।
3क्रम गिनने पर $2^{4} = 16$ तरीके। पर $(f, g)$ और $(g, f)$ एक ही जोड़ी हैं, इसलिए क्रम न गिनने पर $\frac{16}{2} = 2^{3} = 8$ ।

उत्तर 8 और 16

सह-अभाज्य जोड़ी में अभाज्य की घात बाँटी नहीं जा सकती — इसीलिए हर अभाज्य सिर्फ़ 2 चुनाव देता है,

(a + 1)

नहीं।

आसानपहले खुद करके देखें

180 को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है (क्रम नहीं गिनना)?

आसानपहले खुद करके देखें

2025 को दो अलग-अलग गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है (क्रम नहीं गिनना)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2450 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि गुणनफल पूर्ण वर्ग हो?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2160 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग दें कि भागफल पूर्ण वर्ग हो?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1125 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि गुणनफल पूर्ण घन हो?

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2310 को दो सह-अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है (क्रम नहीं गिनना)?

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100 से छोटी वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिसके ठीक 3 गुणनखंड हों?

कठिनपहले खुद करके देखें

18, 20 और 30 — तीनों से कटने वाला सबसे छोटा पूर्ण वर्ग कौन-सा है?

भाग 2 — अंत के शून्य

2 × 5 की जोड़ियाँ ·

n!

· गुणनफल

किसी गुणनफल या $n!$ के अंत में कितने शून्य होते हैं, और उलटा प्रश्न।

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शून्य कहाँ से आते हैं: 2 और 5 की जोड़ी

शून्य

= min (2 की घात, 5 की घात)

गुणनफल को अभाज्यों में तोड़कर 2 और 5 की जोड़ियाँ गिनना।

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$n!$ के अंत के शून्य और लेजेंद्र का सूत्र

⌊ \frac{n}{5} ⌋ + ⌊ \frac{n}{25} ⌋ + \dots

$n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ में किसी अभाज्य की सबसे बड़ी घात, और उसी से अंत के शून्य।

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उलटा प्रश्न: शून्य दिए हैं, $n$ ढूँढना

n \approx 4 \times

शून्य, फिर सुधारें

दिए शून्यों वाला सबसे छोटा/बड़ा $n$ , कितने $n$ संभव हैं, और कौन-सी शून्य-गिनतियाँ असंभव हैं।

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गुणनफल की श्रृंखलाएँ

पद-पद देखें: 5 और 2 की घातें

क्रमागत संख्याओं की सीमा, किसी संख्या के गुणजों, केवल विषम संख्याओं, घात वाले पदों और फ़ैक्टोरियलों के गुणनफल में शून्य।

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भाग 3 — आवर्ती दशमलव

भिन्न ↔ दशमलव · जोड़-घटाव · तुलना

भिन्न कब सांत और कब आवर्ती दशमलव बनती है, आवर्ती दशमलव से भिन्न, उन पर संक्रियाएँ और उनकी तुलना।

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भिन्न से दशमलव: कब सांत, कब आवर्ती

हर में केवल 2 और 5 ⟹ सांत

लंबी भाग का शेषफल-चक्र, सांत की पहचान, दशमलव-स्थानों की गिनती और आवर्त की लंबाई।

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आवर्ती दशमलव से भिन्न

अंक ÷ (आवर्त जितने 9, फिर 0)

शुद्ध और मिश्र आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना, और यह विधि क्यों काम करती है।

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आवर्ती दशमलव पर जोड़, घटाव, गुणा, भाग और मूल

भिन्न बनाइए, या आवर्त जोड़िए

दो तरीके: सबको भिन्न बनाकर संक्रिया, और जोड़-घटाव के लिए आवर्त को बराबर लंबा करके जोड़ना; साथ में कुछ तेज़ पैटर्न।

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तुलना, क्रम और $n$ -वाँ अंक

पहला अंतर तय करता है ·

n mod r

आवर्ती दशमलवों की तुलना, दशमलव के $n$ -वें स्थान का अंक और पहले $n$ अंकों का योग।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

कौन-सी विधि कब

प्रश्न पढ़ते ही विधि चुनने के लिए एक पन्ना।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

तीनों भागों के मिले-जुले प्रश्न; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव — कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

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गुणनखंड, अंत के शून्य और आवर्ती दशमलव

भाग 1 — गुणनखंड

अभाज्य गुणनखंडन और फ़ैक्टर-ट्री

विचार

अभाज्य गुणनखंडों की गिनती

कदम

गुणनखंडों की संख्या

विचार

उलटा प्रश्न: संख्या ढूँढना

कदम

गुणनखंडों का योग और गुणनफल

विचार: योग

गुणनफल और व्युत्क्रमों का योग

कदम

सम, विषम और ख़ास गुणनखंड

विचार

कदम

पूर्ण वर्ग, जोड़ियाँ और गुणनफल के रूप

विचार

जोड़ियों से जुड़े प्रश्न

पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन बनाना

कदम

भाग 2 — अंत के शून्य

शून्य कहाँ से आते हैं: 2 और 5 की जोड़ी

$n!$ के अंत के शून्य और लेजेंद्र का सूत्र

उलटा प्रश्न: शून्य दिए हैं, $n$ ढूँढना

गुणनफल की श्रृंखलाएँ

भाग 3 — आवर्ती दशमलव

भिन्न से दशमलव: कब सांत, कब आवर्ती

आवर्ती दशमलव से भिन्न

आवर्ती दशमलव पर जोड़, घटाव, गुणा, भाग और मूल

तुलना, क्रम और $n$ -वाँ अंक

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास — सेट 1

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